Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Un satélite de $\mathrm{2,5}\cdot {10}^{15}\text{ kg}$ de masa gira en una órbita circular a una altura de $\mathrm{7,0}\cdot {10}^3\text{ km}$ sobre la superficie de un cierto planeta de masa $M_p=\mathrm{3,0}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$ y radio $R_p=\mathrm{3,0}\cdot {10}^3\text{ km}$. Calcule: [2,5 puntos]

a) El periodo y la velocidad orbital del satélite. [0,75 puntos]

b) El valor del campo gravitatorio en la superficie del planeta y en un punto de la órbita del satélite. [0,75 puntos]

c) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [1 punto]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta, así que hay que sumar el radio del planeta a la altura. Pasamos ambos datos a metros.

$r=R_p+h=\mathrm{3,0}\cdot {10}^6+\mathrm{7,0}\cdot {10}^6=\mathrm{1,0}\cdot {10}^7\text{ m}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la única que actúa y hace de fuerza centrípeta. Igualamos las dos expresiones y despejamos la velocidad; obsérvese que la masa del satélite se simplifica.

$G{\displaystyle \frac{M_{p}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}⟹v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_p}{r}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^{23}}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^7}}}=\sqrt{\mathrm{2,00}\cdot {10}^6}=\mathrm{1,41}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

El movimiento es circular uniforme, de modo que el periodo es la longitud de la circunferencia dividida entre la velocidad.

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{1,0}\cdot {10}^7}{\mathrm{1,41}\cdot {10}^3}}=\mathrm{4,44}\cdot {10}^4\text{ s}$



El satélite gira a $\mathrm{1,41}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ y tarda $\mathrm{4,44}\cdot {10}^4$ segundos, algo más de doce horas, en dar una vuelta completa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El campo gravitatorio creado por una masa puntual, o por una esfera homogénea vista desde fuera, disminuye con el cuadrado de la distancia al centro.

$g={\displaystyle \frac{G{M}_p}{d^2}}$

En la superficie la distancia es el radio del planeta.

$g_{\text{sup}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^{23}}{{(\mathrm{3,0}\cdot {10}^6)}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,00}\cdot {10}^{13}}{\mathrm{9,0}\cdot {10}^{12}}}=\mathrm{2,22}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

En la órbita la distancia es $r$, que es algo más del triple, de manera que el campo cae a menos de la novena parte.

$g_{\text{orb}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,00}\cdot {10}^{13}}{{(\mathrm{1,0}\cdot {10}^7)}^2}}=\mathrm{0,200}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Como comprobación, esa debe ser la aceleración centrípeta del satélite: $v^2\mathrm{/}r=(\mathrm{1,41}\cdot {10}^3{)}^2\mathrm{/}{10}^7=\mathrm{0,200}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$.

El campo vale $\mathrm{2,22}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ en la superficie y $\mathrm{0,200}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ en la órbita, y en los dos casos apunta hacia el centro del planeta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La energía cinética se obtiene de la velocidad del apartado a). Conviene usar $v^2=G{M}_p\mathrm{/}r$ sin redondear.

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{2,5}\cdot {10}^{15}\cdot \mathrm{2,00}\cdot {10}^6=\mathrm{2,50}\cdot {10}^{21}\text{ J}$

La energía potencial gravitatoria se toma nula en el infinito, y por eso es negativa: es la energía que habría que aportar para llevar el satélite hasta allí.

$E_p=-{\displaystyle \frac{G{M}_{p}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^{23}\cdot \mathrm{2,5}\cdot {10}^{15}}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{5,00}\cdot {10}^{21}\text{ J}$

$E_T=E_c+E_p=\mathrm{2,50}\cdot {10}^{21}-\mathrm{5,00}\cdot {10}^{21}=-\mathrm{2,50}\cdot {10}^{21}\text{ J}$

La energía total es negativa, como corresponde a un satélite ligado, y se cumple la relación característica de las órbitas circulares: $E_T=-E_c=E_p\mathrm{/}2$. Sus valores son $E_c=\mathrm{2,50}\cdot {10}^{21}\text{ J}$, $E_p=-\mathrm{5,00}\cdot {10}^{21}\text{ J}$ y $E_T=-\mathrm{2,50}\cdot {10}^{21}\text{ J}$.