Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Nos encontramos en una nave espacial de masa $9\cdot {10}^4\text{ kg}$ sobre la superficie del planeta Saturno. Sabemos que el radio de este planeta es de $\mathrm{5,82}\cdot {10}^4\text{ km}$, su masa de $\mathrm{5,68}\cdot {10}^{26}\text{ kg}$ y su periodo de rotación de 10 horas y 34 minutos.

a) [1,25 puntos] Calcule el valor de la gravedad en la superficie de Saturno y la velocidad que necesita la nave para abandonar el planeta. Deduzca razonadamente las expresiones.

b) [1,25 puntos] Suponga que se lanza la nave verticalmente y sus motores se apagan justo cuando se encuentra a una altura de 2 veces el radio de Saturno sobre su superficie con velocidad de $1\text{ km/s}$. Determine a qué altura (en km) se parará antes de volver a caer sobre Saturno.

c) [1,25 puntos] Se quiere lanzar la nave para que orbite alrededor de este planeta de forma geoestacionaria (manteniéndose siempre en la vertical sobre un punto sobre la superficie del planeta). Deduzca y calcule la altura a la que orbitará la nave.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Saturno}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{abandonar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{expresiones.}}$

El campo gravitatorio en la superficie se obtiene igualando el peso de un cuerpo de masa $m$ a la fuerza con que lo atrae el planeta, según la ley de gravitación universal:

$mg=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}\Rightarrow g=G{\displaystyle \frac{M}{R^2}}$

$g=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{5,68}\cdot {10}^{26}}{(\mathrm{5,82}\cdot {10}^7{)}^2}}=\mathrm{11,19}{\text{m/s}}^2$

Para escapar del planeta hay que darle a la nave la energía justa para llegar al infinito con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, se conserva la energía mecánica:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0+0\Rightarrow v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,68}\cdot {10}^{26}}{\mathrm{5,82}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{3,61}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

La gravedad en la superficie de Saturno es $\mathrm{11,19}{\text{m/s}}^2$, algo mayor que la terrestre, y la velocidad de escape, $\mathrm{36,1}\text{ km/s}$. Obsérvese que ninguna de las dos depende de la masa de la nave.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Suponga}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{lanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{verticalmente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{motores}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{apagan}}\mathbf{\text{justo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Saturno}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mtext> km/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{km)}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{parar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{volver}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{caer}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{Saturno.}}$

Cuando se apagan los motores la nave está a una distancia del centro del planeta

$r_0=R+2R=3R=\mathrm{1,746}\cdot {10}^8\text{ m}$

y a partir de ahí solo actúa la gravedad, de modo que la energía mecánica se conserva entre ese punto y el punto más alto, donde la velocidad es nula:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{r_0}}=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r_{\max }}}$

Simplificando la masa de la nave y despejando:

${\displaystyle \frac{1}{r_{\max }}}={\displaystyle \frac{1}{r_0}}-{\displaystyle \frac{v_0^2}{2GM}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,746}\cdot {10}^8}}-{\displaystyle \frac{({10}^3{)}^2}{2\cdot \mathrm{3,789}\cdot {10}^{16}}}$

${\displaystyle \frac{1}{r_{\max }}}=\mathrm{5,727}\cdot {10}^{-9}-\mathrm{1,320}\cdot {10}^{-11}=\mathrm{5,714}\cdot {10}^{-9}$

$r_{\max }=\mathrm{1,750}\cdot {10}^8\text{ m}$

La altura sobre la superficie es esa distancia menos el radio del planeta:

$h=r_{\max }-R=\mathrm{1,750}\cdot {10}^8-\mathrm{5,82}\cdot {10}^7=\mathrm{1,168}\cdot {10}^8\text{ m}=\mathrm{1,168}\cdot {10}^5\text{ km}$

La nave se para a unos $\mathrm{1,168}\cdot {10}^5$ km de altura sobre la superficie. Conviene notar que solo sube unos 403 km por encima del punto en que se apagaron los motores: a 1 km/s, muy por debajo de la velocidad de escape, apenas puede ganar altura.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbite}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{geoestacionaria}}\mathbf{\text{(manteni}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta).}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbitar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave.}}$

Para que la nave se mantenga siempre sobre el mismo punto, su periodo orbital ha de coincidir con el de rotación del planeta:

$T=10\text{ h }34\text{ min}=10\cdot 3600+34\cdot 60=38040\text{ s}$

En una órbita circular la atracción gravitatoria es la fuerza centrípeta, y la velocidad se escribe en función del periodo:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

$r^3={\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}\Rightarrow r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,68}\cdot {10}^{26}\cdot (38040{)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{1,116}\cdot {10}^8\text{ m}$



$h=r-R=\mathrm{1,116}\cdot {10}^8-\mathrm{5,82}\cdot {10}^7=\mathrm{5,34}\cdot {10}^7\text{ m}$

La nave orbitará a unos $\mathrm{5,34}\cdot {10}^4$ km de altura sobre la superficie de Saturno.