Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Dos cuerpos de masas $m_1=2\text{ kg}$ y $m_2=4\text{ kg}$ se encuentran fijos en los puntos $(-5,0)$ m y $(10,0)$ m respectivamente. [2,5 puntos]

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a las masas $m_1$ y $m_2$ en el origen de coordenadas. [1 punto]

b) Calcule el trabajo externo necesario para transportar una tercera masa de 1 kg desde el origen de coordenadas hasta el punto $(0,5)$ m. [1 punto]

c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia ella. El origen está a 5 m de $m_1$, que queda a su izquierda, y a 10 m de $m_2$, que queda a su derecha, de modo que los dos campos tienen la dirección del eje $X$ y sentidos opuestos.

${\vec{g}}_1=-{\displaystyle \frac{G{m}_1}{r_1^2}}\vec{i}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 2}{5^2}}\vec{i}=-\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-12}\vec{i}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

${\vec{g}}_2=+{\displaystyle \frac{G{m}_2}{r_2^2}}\vec{i}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 4}{{10}^2}}\vec{i}=\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-12}\vec{i}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

El campo total es la suma vectorial de ambos, que al ser colineales se reduce a una resta de módulos.

$\vec{g}={\vec{g}}_1+{\vec{g}}_2=(-\mathrm{5,34}+\mathrm{2,67})\cdot {10}^{-12}\vec{i}=-\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-12}\vec{i}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$



El campo en el origen vale $\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-12}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$ y apunta en el sentido negativo del eje $X$, es decir, hacia $m_1$: aunque $m_2$ es el doble de masiva, está al doble de distancia y su campo resulta cuatro veces menor por unidad de masa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{externo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{transportar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo no depende del camino y se calcula con la variación de energía potencial. Si el traslado se hace muy despacio, el trabajo externo es exactamente esa variación.

$W_{\text{ext}}=\mathrm{\Delta }{E}_p=m(V_P-V_O)$

Calculamos primero el potencial en el origen, sumando el de cada masa con su signo negativo.

$V_O=-G({\displaystyle \frac{m_1}{5}}+{\displaystyle \frac{m_2}{10}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}(\mathrm{0,4}+\mathrm{0,4})=-\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-11}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

En el punto $P(0,5)$ las distancias salen del teorema de Pitágoras.

$r_1=\sqrt{5^2+5^2}=\mathrm{7,07}\text{ m},r_2=\sqrt{{10}^2+5^2}=\mathrm{11,18}\text{ m}$

$V_P=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{2}{\mathrm{7,07}}}+{\displaystyle \frac{4}{\mathrm{11,18}}})=-\mathrm{4,27}\cdot {10}^{-11}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

$W_{\text{ext}}=1\cdot (-\mathrm{4,27}\cdot {10}^{-11}+\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-11})=\mathrm{1,06}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

El trabajo que debe realizar un agente externo es de $\mathrm{1,06}\cdot {10}^{-11}$ julios.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{brevemente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{significado}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b).}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El trabajo externo ha salido positivo. Eso significa que el agente exterior tiene que aportar energía para llevar la masa desde el origen hasta $P$, porque en ese desplazamiento la masa se aleja de las dos masas fijas y el potencial gravitatorio, siendo negativo, aumenta hacia cero.

El trabajo de las fuerzas del campo es el opuesto, $W_{\text{campo}}=-\mathrm{1,06}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$: la atracción gravitatoria se opone al movimiento, exactamente igual que al subir un cuerpo cerca de la superficie terrestre.

Dicho de otro modo, el sistema queda con más energía potencial que antes, y esa energía la ha tenido que poner el agente externo.