Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

En el espacio tridimensional, se conoce que el siguiente plano y recta son secantes:

$\pi :x+3y+2z=10;r:{\displaystyle \frac{x+21}{11}}=3-y={\displaystyle \frac{5-z}{2}}$

a) Averiguar el punto de corte entre el plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

b) Calcular el ángulo generado por el plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Averiguar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Conviene escribir primero la recta en forma continua ordenada, con los tres numeradores del tipo variable menos constante, para leer sin errores el punto y el vector director.

$r:{\displaystyle \frac{x+21}{11}}={\displaystyle \frac{y-3}{-1}}={\displaystyle \frac{z-5}{-2}}$

$R(-21,3,5)\in r,{\vec{d}}_r=(11,-1,-2)$

De ahí se pasa a las ecuaciones paramétricas, que son las que se sustituyen en el plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=-21+11\lambda \\ y=3-\lambda \\ z=5-2\lambda \end{array}$

$(-21+11\lambda )+3(3-\lambda )+2(5-2\lambda )=10$

$-21+11\lambda +9-3\lambda +10-4\lambda =10\Rightarrow 4\lambda -2=10$

$\lambda =3$

Se lleva ese valor del parámetro a las paramétricas de la recta.

$x=-21+33=12,y=3-3=0,z=5-6=-1$

El plano y la recta se cortan en el punto $I(12,0,-1)$, que en efecto verifica la ecuación del plano: $12+3\cdot 0+2\cdot (-1)=10$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{generado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, de modo que el coseno de aquel se convierte en el seno de este.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,3,2),{\vec{d}}_r=(11,-1,-2)$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{d}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{d}}_r\mid \cdot \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}$

${\vec{d}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=11\cdot 1+(-1)\cdot 3+(-2)\cdot 2=11-3-4=4$

$\mid {\vec{d}}_r\mid =\sqrt{{11}^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}$

$\mid {\vec{n}}_{\pi }\mid =\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{14}\cdot \sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{4}{42}}={\displaystyle \frac{2}{21}}\approx \mathrm{0,0952}$

$\alpha =\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{2}{21}}\right)\approx {\mathrm{5,47}}^{\circ }$



La recta atraviesa el plano en $I$ formando con él un ángulo de unos ${\mathrm{5,47}}^{\circ }$, es decir, $5^{\circ }{27}^{\mathrm{\prime }}$: una inclinación muy pequeña, casi rasante al plano.