Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2025

Un rayo de luz monocromático cuya frecuencia es $f=\mathrm{6,05}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ incide desde un medio A con índice de refracción $n_A$ hacia otro medio B cuyo índice de refracción es $n_B$, teniendo que el ángulo para la reflexión total es de ${60}^{\circ }$. Si se cumple que la diferencia entre los índices de refracción de ambos medios es $n_A-n_B=\mathrm{0,3}$, determine:

a) los índices de refracción de cada medio $n_A$ y $n_B$, respectivamente. [1 punto]

b) las longitudes de onda del rayo incidente cuando se propaga por cada uno de los dos medios, A y B. [1 punto]

Dato: $c=\mathrm{3,0}\cdot {10}^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Los}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{medios}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El ángulo límite o de reflexión total es el ángulo de incidencia para el que el rayo refractado sale rasante a la superficie, es decir, con $\widehat{r}={90}^{\circ }$. Aplicando la ley de Snell a esa situación:

$n_A\mathrm{sen}L=n_B\mathrm{sen}{90}^{\circ }=n_B$

$\mathrm{sen}L=\frac{n_B}{n_A}$





Que exista ángulo límite exige $n_A>n_B$: solo hay reflexión total al pasar de un medio más refringente a otro menos refringente. Con $L={60}^{\circ }$:

$\frac{n_B}{n_A}=\mathrm{sen}{60}^{\circ }=\mathrm{0,866}$

Y con la otra condición del enunciado, $n_A-n_B=\mathrm{0,3}$, se sustituye $n_B=\mathrm{0,866}{n}_A$:

$n_A-\mathrm{0,866}{n}_A=\mathrm{0,3}\Rightarrow \mathrm{0,134}{n}_A=\mathrm{0,3}$

$n_A=\mathrm{2,24}{n}_B=\mathrm{0,866}\cdot \mathrm{2,24}=\mathrm{1,94}$

Los índices son $n_A=\mathrm{2,24}$ y $n_B=\mathrm{1,94}$. Los dos son mayores que 1, como debe ser, y en efecto $n_A>n_B$, coherente con que el rayo vaya del medio A al B.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{medios,}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Al pasar de un medio a otro lo que no cambia es la frecuencia, que la fija el foco emisor; lo que cambia es la velocidad de propagación, y con ella la longitud de onda. En un medio de índice $n$:

$v=\frac{c}{n}\lambda =\frac{v}{f}=\frac{c}{nf}$

En el medio A:

${\lambda }_A=\frac{\mathrm{3,0}\cdot {10}^8}{\mathrm{2,24}\cdot \mathrm{6,05}\cdot {10}^{14}}=\mathrm{2,21}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=221\text{ nm}$

En el medio B:

${\lambda }_B=\frac{\mathrm{3,0}\cdot {10}^8}{\mathrm{1,94}\cdot \mathrm{6,05}\cdot {10}^{14}}=\mathrm{2,56}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=256\text{ nm}$

La longitud de onda es de $221\text{ nm}$ en el medio A y de $256\text{ nm}$ en el B: la onda se estira al pasar al medio menos refringente, en la misma proporción que los índices, ${\lambda }_B\mathrm{/}{\lambda }_A=n_A\mathrm{/}{n}_B=\mathrm{1,15}$.

Como comprobación, en el vacío esa misma luz tendría

${\lambda }_0=\frac{c}{f}=\frac{\mathrm{3,0}\cdot {10}^8}{\mathrm{6,05}\cdot {10}^{14}}=\mathrm{4,96}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=496\text{ nm}$

es decir, luz visible de color verde azulado; dentro de los medios se acorta a menos de la mitad, pero el color que percibiríamos sigue siendo el mismo, porque lo determina la frecuencia.