Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Se están construyendo dos puentes rectos en un tramo de autovía para los dos carriles. Los puentes siguen las ecuaciones siguientes:

$r_1(t)=(2+t,-1-2t,3+2t)$; $r_2(s)=(1+2s,4-s,4-2s)$.

Se pide:

a) Estudie si los puentes son paralelos, se cortan o se cruzan. [1,25 puntos]

b) La empresa quiere construir un puente de servicio que los una, y quiere que sea lo más corto posible. ¿Qué longitud tendrá la vía de servicio? Indique los puntos inicio y final del pasadizo. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puentes}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{paralelos,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cruzan.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$










De las ecuaciones paramétricas se leen un punto y un vector director de cada recta:

$P_1(2,-1,3),{\vec{v}}_1=(1,-2,2)$

$P_2(1,4,4),{\vec{v}}_2=(2,-1,-2)$

Los directores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas.





Para distinguir entre secantes y que se cruzan se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta:

$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(-1,5,1)$

$[{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}]=\mid \begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& -1& -2\\ -1& 5& 1\end{array}\mid =1(-1+10)+2(2-2)+2(10-1)$

$[{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}]=9+0+18=27\mathrm{\ne }0$

Como el producto mixto no es nulo, los tres vectores no son coplanarios y las dos rectas se cruzan: no hay ningún plano que las contenga a la vez y, por tanto, los dos puentes pasan uno por encima del otro sin llegar a tocarse.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{puente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{una,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{corto}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{servicio?}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{inicio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pasadizo.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El tramo más corto entre dos rectas que se cruzan es su perpendicular común, y su longitud se obtiene con el producto mixto:

${\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 1& -2& 2\\ 2& -1& -2\end{array}\mid =(4+2)\vec{\mathrm{ı}}-(-2-4)\vec{\mathrm{ȷ}}+(-1+4)\vec{k}=(6,6,3)$

$\mid {\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2\mid =\sqrt{36+36+9}=\sqrt{81}=9$

$d(r_1,r_2)=\frac{\mid [{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}]\mid }{\mid {\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2\mid }=\frac{27}{9}=3$

La vía de servicio medirá $3$ unidades de longitud.

Para los extremos se toman un punto genérico de cada recta y se impone que el vector que los une sea perpendicular a las dos:

$A=(2+t,-1-2t,3+2t)B=(1+2s,4-s,4-2s)$

$\overrightarrow{AB}=(-1+2s-t,5-s+2t,1-2s-2t)$

$\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{v}}_1=-9-9t=0\Rightarrow t=-1$

$\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{v}}_2=-9+9s=0\Rightarrow s=1$

$A=(1,1,1)B=(3,3,2)$

El pasadizo va del punto $A(1,1,1)$ del primer puente al punto $B(3,3,2)$ del segundo. Se comprueba la longitud:

$\mid \overrightarrow{AB}\mid =\mid (2,2,1)\mid =\sqrt{4+4+1}=3\mathrm{✓}$

y de paso que $\overrightarrow{AB}=(2,2,1)$ es proporcional a ${\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=(6,6,3)$, como tiene que ser en la perpendicular común.