Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2026

Un protón y un electrón son acelerados por una diferencia de potencial de $\mathrm{0,075}\text{ V}$.

i) Determine la energía cinética de ambas partículas. [0,75 puntos]

ii) Determine, razonadamente, las longitudes de onda de De Broglie asociadas a ambas partículas. [0,75 puntos]

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$; $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $m_p=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culas.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una partícula cargada acelerada por una diferencia de potencial gana una energía cinética igual al trabajo que el campo eléctrico realiza sobre ella, que es el producto de su carga por la diferencia de potencial.

$E_c=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }V$

El protón y el electrón tienen cargas de igual valor absoluto y signos opuestos, así que —acelerado cada uno por la diferencia de potencial que le corresponde— ambos adquieren la misma energía cinética.

$E_c=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,075}$

$E_c=\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

Los dos adquieren una energía cinética de $\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$, que equivale a $\mathrm{0,075}\text{ eV}$. Lo que no es igual es su velocidad: el electrón, mucho más ligero, alcanza una velocidad muy superior.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Determine,}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{asociadas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culas.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La longitud de onda de De Broglie es el cociente entre la constante de Planck y la cantidad de movimiento. Como conocemos la energía cinética y no la velocidad, conviene relacionar ambas:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{p^2}{2m}}\Rightarrow p=\sqrt{2m{E}_c}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2m{E}_c}}}$

Para el electrón:

${\lambda }_e={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\sqrt{2\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{1,2}\cdot {10}^{-20}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{1,48}\cdot {10}^{-25}}}$

${\lambda }_e=\mathrm{4,49}\cdot {10}^{-9}\text{ m}$

Para el protón:

${\lambda }_p={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\sqrt{2\cdot \mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot \mathrm{1,2}\cdot {10}^{-20}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{6,33}\cdot {10}^{-24}}}$

${\lambda }_p=\mathrm{1,05}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$

La longitud de onda del electrón, $\mathrm{4,49}\text{ nm}$, es unas 43 veces mayor que la del protón, $\mathrm{0,105}\text{ nm}$. Con la misma energía cinética, la partícula más masiva tiene mayor cantidad de movimiento y, por tanto, menor longitud de onda asociada: la razón entre ambas es la raíz cuadrada del cociente de sus masas.