Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Asturias · 2026

Nos encontramos en un laboratorio con la intención de realizar un experimento de difracción de electrones para caracterizar un material que estamos investigando. En dicho experimento los electrones que inciden sobre el material objeto de estudio poseen una longitud de onda ${\lambda }_e=2\cdot {10}^{-10}\text{ m}$.

a) ¿Cuál es la velocidad de los electrones que inciden sobre el material? [1 punto]

b) Supongamos que una partícula de masa $m=5\cdot {10}^{-15}\text{ kg}$ se desplaza con la misma velocidad que el haz de electrones del apartado anterior. ¿Cuál será la longitud de onda de De Broglie asociada a dicha partícula? [1 punto]

Datos: $h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{inciden}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que los electrones difracten al atravesar el material es la manifestación de su comportamiento ondulatorio: a toda partícula de masa $m$ que se mueve con velocidad $v$ le corresponde, según la hipótesis de De Broglie, una longitud de onda

$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$

Despejando la velocidad y sustituyendo los datos del haz:

$v=\frac{h}{m_e{\lambda }_e}=\frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot 2\cdot {10}^{-10}}$

$v=\mathrm{3,64}\cdot {10}^6\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Los electrones inciden a $\mathrm{3,64}\cdot {10}^6\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, algo más del 1 % de la velocidad de la luz, de modo que el tratamiento no relativista está justificado. Su longitud de onda, $2\cdot {10}^{-10}\text{ m}$, es del orden de la distancia entre átomos de un sólido, y esa es justamente la razón de que la red cristalina actúe como red de difracción.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Supongamos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{5×10⁻¹⁵}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplaza}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica la misma relación, ahora con la masa de la partícula:

$\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}{5\cdot {10}^{-15}\cdot \mathrm{3,64}\cdot {10}^6}$

$\lambda =\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-26}\text{ m}$

También puede obtenerse sin repetir la cuenta: a igualdad de velocidad, la longitud de onda es inversamente proporcional a la masa, así que

$\frac{\lambda }{{\lambda }_e}=\frac{m_e}{m}=\frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}{5\cdot {10}^{-15}}=\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-16}\Rightarrow \lambda =\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-16}\cdot 2\cdot {10}^{-10}=\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-26}\text{ m}$

La longitud de onda asociada es de $\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-26}\text{ m}$: unos dieciséis órdenes de magnitud menor que el tamaño de un núcleo atómico. Ningún dispositivo puede tener rendijas de ese tamaño, y por eso el carácter ondulatorio de los objetos macroscópicos es indetectable, aunque formalmente exista.