Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2026

Responda a.1 o a.2.

a.1) (i) La figura muestra la velocidad máxima de los electrones emitidos por un material por efecto fotoeléctrico en función de la longitud de onda de la radiación electromagnética que incide sobre el material. Determine el trabajo de extracción del material en electronvoltios a partir del gráfico y, a partir de este valor, indique qué elemento de la tabla emite los electrones. [1 punto]



(ii) La velocidad máxima de los electrones emitidos por una placa de silicio cuando se usa una radiación de 560 nm es cierto valor $v_x$. ¿Qué pasa con la velocidad máxima de los electrones respecto a $v_x$ cuando la intensidad de la radiación incidente se reduce a la mitad? [0,5 puntos]

(iii) Determine la longitud de onda de la radiación incidente necesaria para que una placa de silicio emita electrones, mediante el efecto fotoeléctrico, con una velocidad máxima de 147 km/s. [1 punto]

a.2) El uranio 238 es un isótopo radioactivo que se convierte en el isótopo estable plomo 206 después de una secuencia de desintegraciones alfa y beta menos.

(i) Describa cómo varían el número másico y el número atómico de un núcleo cuando se produce una desintegración alfa y cuando se produce una desintegración beta menos. [0,75 puntos]

(ii) Determine el número de desintegraciones alfa necesarias para que el núcleo del uranio 238 ($Z=92$) se transforme en un núcleo del mismo número másico que el plomo 206 ($Z=82$). Después, razone por qué la serie de desintegración del uranio 238 no puede estar formada únicamente por desintegraciones alfa. [0,75 puntos]

(iii) El talio 206 se desintegra en plomo 206 con una semivida de 4,2 minutos. En un instante determinado, la actividad de una muestra con talio 206 es de ${10}^6$ Bq; ¿qué actividad tiene al cabo de media hora? [1 punto]

Trabajos de extracción de la tabla del formulario:

Elemento	$W$ (eV)	Elemento	$W$ (eV) Cesio	1,94	Aluminio	4,08 Rubidio	2,13	Cobre	4,70 Sodio	2,28	Plata	4,73 Silicio	3,59	Oro	5,10

Datos: $h=\mathrm{6,62607015}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$; $c=299792458\text{ m/s}$; $m_e=\mathrm{9,1094}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $e=\mathrm{1,602176634}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$ con $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$.

$\mathbf{\text{a.1)}}\mathbf{\text{(i)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{electronvoltios}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fico}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{valor,}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{elemento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tabla}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La gráfica da la velocidad máxima de los electrones frente a la longitud de onda. El dato que interesa es la longitud de onda umbral, aquella para la que la velocidad se anula: por debajo de esa energía ya no hay emisión.

${\lambda }_0\approx 640\text{ nm}$

En el umbral, toda la energía del fotón se emplea en arrancar el electrón y no queda energía cinética, de modo que el trabajo de extracción es la energía de ese fotón.

$W={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }_0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{640\cdot {10}^{-9}}}$

$W=\mathrm{3,104}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$W={\displaystyle \frac{\mathrm{3,104}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{1,94}\text{ eV}$

Buscando ese valor en la tabla del formulario, el elemento es el cesio, cuyo trabajo de extracción es de 1,94 eV.



No pasa nada: la velocidad máxima sigue siendo $v_x$.

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico dice que la energía cinética máxima solo depende de la frecuencia de la radiación y del metal, no de la intensidad.

${\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}_{\max }^{}={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}-W$

Reducir la intensidad a la mitad significa enviar la mitad de fotones por segundo, pero cada fotón sigue teniendo la misma energía. Lo que se reduce a la mitad es el número de electrones arrancados, es decir, la intensidad de la corriente fotoeléctrica; la velocidad máxima de cada electrón no cambia.

Es precisamente el resultado que la física clásica no sabía explicar y que resolvió la hipótesis de los cuantos de luz.

$\mathbf{\text{a.1)}}\mathbf{\text{(iii)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{silicio}}\mathbf{\text{emita}}\mathbf{\text{electrones,}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{147}}\mathbf{\text{km/s.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica la ecuación de Einstein, con el trabajo de extracción del silicio que da la tabla, 3,59 eV, pasado a julios.

$W=\mathrm{3,59}\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{5,752}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,1094}\cdot {10}^{-31}\cdot (\mathrm{1,47}\cdot {10}^5{)}^2$

$E_c=\mathrm{9,842}\cdot {10}^{-21}\text{ J}=\mathrm{0,0614}\text{ eV}$

${\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}=W+E_c=\mathrm{5,752}\cdot {10}^{-19}+\mathrm{0,098}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{5,850}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{hc}{W+E_c}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,986}\cdot {10}^{-25}}{\mathrm{5,850}\cdot {10}^{-19}}}$

$\lambda =\mathrm{3,40}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=340\text{ nm}$

Hace falta radiación de 340 nm, ya en el ultravioleta cercano. Se entiende que sea así: el silicio necesita 3,59 eV solo para arrancar el electrón, y ninguna luz visible llega a esa energía.

$\mathbf{\text{a.2)}}\mathbf{\text{(i)}}\mathbf{\text{Describa}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{var}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alfa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{beta}}\mathbf{\text{menos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En la desintegración alfa el núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio con dos protones y dos neutrones.

${}_Z^{A}X\to {}_{Z-2}^{A-4}Y+{}_2^4\text{He}$

El número másico disminuye en cuatro unidades y el atómico en dos, de modo que el elemento resultante está dos casillas a la izquierda en la tabla periódica.

En la desintegración beta menos, un neutrón del núcleo se transforma en un protón y emite un electrón y un antineutrino.

${}_0^{1}n\to {}_1^{1}p+{}_{-1}^0{e}^{-}+{\bar{\nu }}_e$

${}_Z^{A}X\to {}_{Z+1}^{A}Y+{}_{-1}^0{e}^{-}$

El número másico no cambia, porque el número total de nucleones es el mismo, y el atómico aumenta en una unidad.

$\mathbf{\text{a.2)}}\mathbf{\text{(ii)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraciones}}\mathbf{\text{alfa}}\mathbf{\text{necesarias}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{uranio}}\mathbf{\text{238}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{transforme}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plomo}}\mathbf{\text{206.}}\mathbf{\text{Despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{razone}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{serie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{uranio}}\mathbf{\text{238}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{formada}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{desintegraciones}}\mathbf{\text{alfa.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El número másico solo cambia en las desintegraciones alfa, y lo hace de cuatro en cuatro, así que el número de alfas lo fija la diferencia de números másicos.

$n_{\alpha }={\displaystyle \frac{238-206}{4}}={\displaystyle \frac{32}{4}}=8$

Hacen falta 8 desintegraciones alfa. Veamos ahora qué le ocurre al número atómico con solo esas ocho.

$Z=92-8\cdot 2=92-16=76$

Se llegaría a $Z=76$, que es el osmio, y no al plomo, que tiene $Z=82$. Faltan seis unidades de carga, y solo las desintegraciones beta menos pueden aportarlas, porque cada una aumenta $Z$ en uno sin tocar $A$.

$n_{{\beta }^{-}}=82-76=6$

Por eso la serie del uranio 238 no puede estar formada solo por desintegraciones alfa: necesita además 6 desintegraciones beta menos.

$\mathbf{\text{a.2)}}\mathbf{\text{(iii)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{talio}}\mathbf{\text{206}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desintegra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{plomo}}\mathbf{\text{206}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{semivida}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4,2}}\mathbf{\text{minutos.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{determinado,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{talio}}\mathbf{\text{206}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msup>}\mathbf{\text{Bq;}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{hora?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad decae exponencialmente con la misma constante que el número de núcleos. Se calcula primero esa constante a partir de la semivida.

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6931}}{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{0,1650}{\text{min}}^{-1}$

$A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}={10}^6{e}^{-\mathrm{0,1650}\cdot 30}$

$A={10}^6{e}^{-\mathrm{4,951}}$

$A=\mathrm{7,1}\cdot {10}^3\text{ Bq}$

Al cabo de media hora la actividad es de unos 7,1 kBq. Se comprueba deprisa contando semividas: en 30 minutos caben $30\mathrm{/}\mathrm{4,2}=\mathrm{7,14}$ semividas, y dividir entre dos siete veces largas deja algo más de la milésima parte de la actividad inicial.