Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Asturias · 2025

La función de trabajo para el potasio es de $\mathrm{2,3}\text{ eV}$.

a) Determine la frecuencia mínima umbral con la que se debe emitir la luz que irradia una lámina de potasio para producir el efecto fotoeléctrico. [0,5 puntos]

b) Calcule el potencial de frenado de los electrones emitidos cuando se irradia la lámina de potasio con radiación de longitud de onda de 395 nm. ¿Cuál será la velocidad máxima de los electrones? [1,5 puntos]

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; $c=\mathrm{3,0}\cdot {10}^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$; $m_{e^{-}}=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }{q}_{e^{-}}\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{emitir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{irradia}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{potasio}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










En el efecto fotoeléctrico la energía de cada fotón se reparte entre el trabajo de extracción $W_0$ —la energía mínima que hay que dar a un electrón para arrancarlo del metal— y la energía cinética con la que sale:

$h\nu =W_0+E_{c,\max }$

La frecuencia umbral es aquella para la que el electrón sale justo con energía cinética nula.





Pasando primero el trabajo de extracción a julios:

$W_0=\mathrm{2,3}\text{ eV}=\mathrm{2,3}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{3,68}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$h{\nu }_0=W_0\Rightarrow {\nu }_0=\frac{W_0}{h}=\frac{\mathrm{3,68}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}$

${\nu }_0=\mathrm{5,55}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

La frecuencia umbral del potasio es $\mathrm{5,55}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$, que corresponde a una longitud de onda ${\lambda }_0=c\mathrm{/}{\nu }_0=540\text{ nm}$, luz verde. Con luz de frecuencia menor —amarilla, naranja o roja— no se arranca ni un electrón por intensa que sea la iluminación, y ese es justamente el hecho que la física clásica no supo explicar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{irradia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{potasio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{395}}\mathbf{\text{nm.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La energía de esos fotones es

$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^8}{\mathrm{3,95}\cdot {10}^{-7}}=\mathrm{5,04}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{3,15}\text{ eV}$

que supera el trabajo de extracción, así que sí hay emisión. La energía cinética máxima de los electrones arrancados es la diferencia:

$E_{c,\max }=E-W_0=\mathrm{5,04}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{3,68}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{1,36}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$E_{c,\max }=\frac{\mathrm{1,36}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}=\mathrm{0,85}\text{ eV}$

El potencial de frenado es la diferencia de potencial que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, es decir, aquella cuyo trabajo iguala a esa energía cinética:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_0=E_{c,\max }\Rightarrow V_0=\frac{\mathrm{1,36}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}=\mathrm{0,85}\text{ V}$

El potencial de frenado vale $\mathrm{0,85}\text{ V}$. No es casualidad que coincida numéricamente con la energía cinética expresada en electronvoltios: es la definición misma de esa unidad.

La velocidad máxima sale de la energía cinética:

$E_{c,\max }=\frac{1}{2}{m}_e{v}_{\max }^{}\Rightarrow v_{\max }=\sqrt{\frac{2E_{c,\max }}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{1,36}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}$

$v_{\max }=\mathrm{5,46}\cdot {10}^5\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Los electrones más rápidos salen a $\mathrm{5,46}\cdot {10}^5\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, menos del 0,2 % de la velocidad de la luz, de modo que el tratamiento clásico de la energía cinética es correcto. Se habla de velocidad máxima porque solo los electrones de la superficie salen con toda esa energía: los que provienen de más adentro pierden parte por el camino.