Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2025

Un mesón $\pi$ tiene una masa 274 veces mayor que la de un electrón. Si ambas partículas tienen la misma longitud de onda de De Broglie, determine:

i) La relación entre sus velocidades. [0,5 puntos]

ii) La relación entre sus energías cinéticas. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{velocidades.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$

Si las dos partículas tienen la misma longitud de onda, tienen la misma cantidad de movimiento:

$m_{\pi }{v}_{\pi }=m_e{v}_e$

Con $m_{\pi }=274m_e$:

${\displaystyle \frac{v_{\pi }}{v_e}}={\displaystyle \frac{m_e}{m_{\pi }}}={\displaystyle \frac{1}{274}}$

El mesón se mueve 274 veces más despacio que el electrón. Es lo razonable: siendo mucho más masivo, necesita mucha menos velocidad para tener la misma cantidad de movimiento.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ticas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene escribir la energía cinética en función de la cantidad de movimiento, que es la magnitud que ambas comparten:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{p^2}{2m}}$

Como $p$ es el mismo para las dos, la energía cinética es inversamente proporcional a la masa:

${\displaystyle \frac{E_{c,\pi }}{E_{c,e}}}={\displaystyle \frac{p^2\mathrm{/}(2m_{\pi })}{p^2\mathrm{/}(2m_e)}}={\displaystyle \frac{m_e}{m_{\pi }}}={\displaystyle \frac{1}{274}}$

La energía cinética del mesón es 274 veces menor que la del electrón. Las dos relaciones coinciden porque la energía cinética depende de la masa exactamente igual que la velocidad cuando la cantidad de movimiento está fijada.