Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

$$	Coches	Motos Aptos	116.383	160.667 No aptos	2.679	3.447

Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto? [1,25 puntos]

b) Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{moto}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{apto?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Completamos la tabla con los totales por filas y por columnas, que es lo que hace falta para calcular las probabilidades.

$$	Coches	Motos	Total
Aptos	116.383	160.667	277.050
No aptos	2.679	3.447	6.126
Total	119.062	164.114	283.176

Llamamos $M$ al suceso «el vehículo es una moto» y $A$ al suceso «el vehículo resultó apto». La probabilidad de la unión se calcula descontando la intersección, que en otro caso se contaría dos veces.

$P(M\cup A)=P(M)+P(A)-P(M\cap A)$

$P(M\cup A)={\displaystyle \frac{164114}{283176}}+{\displaystyle \frac{277050}{283176}}-{\displaystyle \frac{160667}{283176}}$

$P(M\cup A)={\displaystyle \frac{280497}{283176}}\approx \mathrm{0,9905}$

Se llega al mismo resultado por el suceso contrario, que aquí es más corto: lo único que queda fuera de la unión son los coches no aptos.

$P(M\cup A)=1-{\displaystyle \frac{2679}{283176}}\approx \mathrm{0,9905}$

La probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto es de $\mathrm{0,9905}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coche,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{apto?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide una probabilidad condicionada al suceso «ser coche», de modo que el espacio muestral se reduce a los 119 062 coches que pasaron la inspección.

$P\left(\bar{A}\mathrm{/}C\right)={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap C)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2679}{283176}}}{{\displaystyle \frac{119062}{283176}}}}={\displaystyle \frac{2679}{119062}}$

$P\left(\bar{A}\mathrm{/}C\right)\approx \mathrm{0,0225}$

Si el vehículo elegido es un coche, la probabilidad de que haya resultado no apto es de $\mathrm{0,0225}$, es decir, del 2,25 \%.