Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2020

Una lente delgada divergente de $-\mathrm{2,5}$ dioptrías produce una imagen virtual de un objeto situado a la izquierda de la lente. La imagen tiene 5 mm de altura y está situada a 20 cm a la izquierda de la lente.

a) Calcule la posición y el tamaño del objeto.

b) Realice el diagrama de rayos correspondiente.

Se trabaja con el criterio de signos habitual (DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, el origen está en el centro óptico y las distancias medidas hacia la izquierda son negativas. La potencia da la distancia focal imagen:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{2,5}}}=-\mathrm{0,4}\text{ m}=-40\text{ cm}$

Aquí el problema va al revés de lo habitual: se conoce la imagen y se busca el objeto.

$s^{\mathrm{\prime }}=-20\text{ cm}{y}^{\mathrm{\prime }}=5\text{ mm}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto.}}$

Se despeja la posición del objeto de la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-20}}-{\displaystyle \frac{1}{-40}}=-\mathrm{0,05}+\mathrm{0,025}$

${\displaystyle \frac{1}{s}}=-\mathrm{0,025}\Rightarrow s=-40\text{ cm}$

Y del aumento lateral, el tamaño:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-20}{-40}}=\mathrm{0,5}$

$y={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{\beta }}={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{0,5}}}=10\text{ mm}$

El objeto está a 40 cm a la izquierda de la lente y mide 10 mm, es decir, el doble que su imagen. Los resultados son coherentes con lo que hace siempre una lente divergente: la imagen sale virtual, derecha y menor, y además más cerca de la lente que el objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente.}}$



Se han trazado los tres rayos principales desde el extremo del objeto: el paralelo al eje, que emerge como si viniera del foco imagen; el que pasa por el centro óptico, que no se desvía; y el dirigido al foco objeto, que emerge paralelo al eje. Los rayos emergentes divergen y son sus prolongaciones, a trazos, las que se cortan en la imagen.