Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2021

Un haz de luz de 400 nm incide sobre un fotocátodo de cesio, cuyo trabajo de extracción es $W_e=\mathrm{2,9}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$. Calcule:

a) La energía máxima de los fotoelectrones emitidos.

b) La frecuencia umbral para que se emitan fotoelectrones.

c) Razone cómo cambiarían los resultados anteriores si la radiación es ahora de 800 nm.

Datos: constante de Planck $h=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{fotoelectrones}}\mathbf{\text{emitidos.}}$

Se calcula primero la energía del fotón incidente:

$E=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{400\cdot {10}^{-9}}}$

$E=\mathrm{4,95}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, esa energía se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón:

$E_{c,\max }=E-W_e=\mathrm{4,95}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{2,9}\cdot {10}^{-19}$

$E_{c,\max }=\mathrm{2,05}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

La energía máxima de los fotoelectrones es de $\mathrm{2,05}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, es decir, $\mathrm{1,28}\text{ eV}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{emitan}}\mathbf{\text{fotoelectrones.}}$










La frecuencia umbral es la del fotón cuya energía es exactamente el trabajo de extracción, sin energía cinética sobrante:

$W_e=h{f}_0\Rightarrow f_0={\displaystyle \frac{W_e}{h}}$





$f_0={\displaystyle \frac{\mathrm{2,9}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}}}=\mathrm{4,39}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

La frecuencia umbral del cesio es de $\mathrm{4,39}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$, a la que corresponde una longitud de onda umbral de $\mathrm{6,83}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$, es decir, 683 nm, ya en el rojo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{cambiar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{800}}\mathbf{\text{nm.}}$

La frecuencia umbral NO cambia: es una propiedad del metal, no de la luz que se le echa encima. Sigue valiendo $\mathrm{4,39}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$.

Lo que cambia es que ahora no hay emisión. La energía de un fotón de 800 nm es:

$E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{800\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{2,48}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

y es MENOR que el trabajo de extracción, $\mathrm{2,9}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$. Dicho en frecuencias, $\mathrm{3,75}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ queda por debajo de la umbral.

No se emitiría ningún fotoelectrón, y no habría por tanto energía cinética que calcular. Conviene subrayar que esto no se arregla aumentando la intensidad de la luz: eso solo aumentaría el NÚMERO de fotones, no la energía de cada uno, y el efecto fotoeléctrico lo decide cada fotón por separado. Es justamente el hecho que la física clásica no supo explicar.