Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2025

Un microscopio electrónico acelera electrones mediante una diferencia de potencial $\mathrm{\Delta }V=4000\text{ V}$. Determine la longitud de onda de De Broglie de dichos electrones.

Datos: carga del electrón $q\approx -\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; constante de Planck $h\approx \mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; masa del electrón $m\approx \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$

Al atravesar la diferencia de potencial, el trabajo del campo eléctrico se invierte íntegramente en energía cinética, porque el electrón parte del reposo:

$W=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }V=E_c$

$E_c=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 4000=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-16}\text{ J}$





De la energía cinética se obtiene la cantidad de movimiento del electrón. Se usa la expresión clásica porque la velocidad resultante, $\mathrm{3,7}\cdot {10}^7\text{ m/s}$, es solo el 12 % de la de la luz:

$E_c={\displaystyle \frac{p^2}{2m}}\Rightarrow p=\sqrt{2m{E}_c}$

$p=\sqrt{2\cdot \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{6,4}\cdot {10}^{-16}}=\mathrm{3,41}\cdot {10}^{-23}\text{ kg m/s}$

Y de la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda asociada:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{3,41}\cdot {10}^{-23}}}$

$\lambda =\mathrm{1,94}\cdot {10}^{-11}\text{ m}$

La longitud de onda de De Broglie de esos electrones es de $\mathrm{1,94}\cdot {10}^{-11}\text{ m}$, unas cincuenta veces menor que el tamaño de un átomo. Ahí está la razón de ser del microscopio electrónico: el poder de resolución está limitado por la longitud de onda, y esta es unas veinte mil veces más corta que la de la luz visible.