Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2026

Un rayo penetra desde el aire (índice de refracción $n_1=1$) en una lámina muy larga de un material con índice de refracción $n_2=\mathrm{1,5}$ que está revestida en ambas caras de otro material externo de índice de refracción $n_3=\mathrm{1,2}$. Determine el valor máximo del ángulo de incidencia ${\theta }_1$ del rayo incidente para que el rayo sufra reflexión total en el punto P y, por tanto, no escape de la lámina interior.

Hay que encadenar dos refracciones. Se empieza por el final, en el punto P, que es donde está la condición del problema.



En P el rayo pasa del núcleo, de índice $n_2$, al revestimiento, de índice $n_3$. Como $n_2>n_3$ puede haber reflexión total, y el ángulo límite es el que da un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$.

Aplicando la ley de Snell en P con $\widehat{r}={90}^{\circ }$:

$n_2\sin {\theta }_L=n_3\sin {90}^{\circ }\Rightarrow \sin {\theta }_L={\displaystyle \frac{n_3}{n_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,8}$

${\theta }_L={\mathrm{53,13}}^{\circ }$

Para que el rayo no escape hace falta que el ángulo de incidencia en P sea mayor o igual que el ángulo límite. Ahora se traslada esa condición a la cara de entrada.

Los ángulos ${\theta }_L$ y ${\theta }_2$ son complementarios, porque la normal de la cara de entrada es perpendicular a la normal de la cara inferior: uno se mide desde el eje de la lámina y el otro desde la vertical.

${\theta }_2={90}^{\circ }-{\theta }_L$

En el límite:

${\theta }_{2,\max }={90}^{\circ }-{\mathrm{53,13}}^{\circ }={\mathrm{36,87}}^{\circ }\Rightarrow \sin {\theta }_{2,\max }=\mathrm{0,6}$

Obsérvese que un ángulo de incidencia ${\theta }_1$ mayor produce un ${\theta }_2$ mayor y, por tanto, un ${\theta }_L$ menor, que es lo que haría escapar al rayo: de ahí que ${\theta }_{2,\max }$ corresponda al ${\theta }_1$ máximo.

Finalmente se aplica la ley de Snell en la cara de entrada, entre el aire y el núcleo:

$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

$\sin {\theta }_{1,\max }={\displaystyle \frac{n_2\sin {\theta }_{2,\max }}{n_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,6}}{1}}=\mathrm{0,9}$

${\theta }_{1,\max }=\arcsin (\mathrm{0,9})={\mathrm{64,16}}^{\circ }$

El ángulo de incidencia máximo es ${\theta }_{1,\max }={\mathrm{64,16}}^{\circ }$. Todo rayo que entre con un ángulo menor o igual que ese queda atrapado dentro de la lámina y avanza por ella rebotando entre las dos caras: es el principio de la fibra óptica. El resultado se puede escribir de forma compacta como $\sin {\theta }_{1,\max }=\sqrt{n_2^2-n_3^2}=\sqrt{{\mathrm{1,5}}^2-{\mathrm{1,2}}^2}=\mathrm{0,9}$, expresión que se conoce como apertura numérica de la guía.