Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En una clase de 35 alumnos asisten 30 de ellos. Se sabe que aprueban todas las asignaturas el 80 % de los alumnos que asisten a clase y el 10 % de los que no asisten. Se elige un alumno al azar. [2 puntos]

a) Calcule el porcentaje de alumnos que aprueba la asignatura.

b) Sabiendo que el alumno ha suspendido, calcule la probabilidad de que haya asistido a clase.

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ el alumno asiste a clase; $P\equiv$ el alumno aprueba todas las asignaturas.

De los 35 alumnos de la clase asisten 30, así que las probabilidades de la primera etapa son proporciones sobre el total:

$P(A)={\displaystyle \frac{30}{35}}={\displaystyle \frac{6}{7}},P\left(\bar{A}\right)={\displaystyle \frac{5}{35}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$

$P(P\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,8},P\left(P\mathrm{\mid }\bar{A}\right)=\mathrm{0,1}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aprueba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{asignatura.}}$

Asistir y no asistir forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $P$.

$P(P)=P(A)P(P\mathrm{\mid }A)+P\left(\bar{A}\right)P\left(P\mathrm{\mid }\bar{A}\right)={\displaystyle \frac{6}{7}}\cdot \mathrm{0,8}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot \mathrm{0,1}$

$P(P)={\displaystyle \frac{\mathrm{4,8}}{7}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{7}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,9}}{7}}=\mathrm{0,7}$

Aprueba el $70\mathrm{\%}$ de los alumnos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{suspendido,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{asistido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{clase.}}$

La probabilidad de suspender es la complementaria de la anterior, y dentro de cada rama las condicionadas también se complementan:

$P\left(\bar{P}\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3},P\left(\bar{P}\mathrm{\mid }A\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$

Aplicando el teorema de Bayes:

$P\left(A\mathrm{\mid }\bar{P}\right)={\displaystyle \frac{P(A)P\left(\bar{P}\mathrm{\mid }A\right)}{P\left(\bar{P}\right)}}={\displaystyle \frac{\frac{6}{7}\cdot \mathrm{0,2}}{\mathrm{0,3}}}={\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{1,2}}{7}}{\mathrm{0,3}}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\approx \mathrm{0,5714}$

Sabiendo que el alumno ha suspendido, la probabilidad de que haya asistido a clase es ${\displaystyle \frac{4}{7}}\approx \mathrm{0,5714}$.