Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla y León · 2020

Un objeto está situado a 25 cm de distancia de una pantalla. ¿En qué dos puntos comprendidos entre el objeto y la pantalla puede situarse una lente convergente de 4 cm de distancia focal para que se forme la imagen del objeto sobre la pantalla?

Para que la imagen se recoja en la pantalla tiene que ser real, y con una lente convergente eso significa que se forma al otro lado. Si la lente está a una distancia $d$ del objeto:

$s=-d{s}^{\mathrm{\prime }}=25-d$

Se aplica la ecuación de las lentes delgadas con $f^{\mathrm{\prime }}=4\text{ cm}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{25-d}}+{\displaystyle \frac{1}{d}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Se suman las fracciones del primer miembro y se ordena la ecuación:

${\displaystyle \frac{25}{d(25-d)}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow d^2-25d+100=0$

$d={\displaystyle \frac{25\pm \sqrt{{25}^2-400}}{2}}={\displaystyle \frac{25\pm 15}{2}}$

Las dos soluciones son válidas: la lente puede colocarse a 5 cm o a 20 cm del objeto.

Con la lente a 5 cm, la imagen se forma a 20 cm de ella y es cuatro veces mayor:

$\beta ={\displaystyle \frac{20}{-5}}=-4$



Y con la lente a 20 cm, la imagen se forma a 5 cm y es cuatro veces menor:

$\beta ={\displaystyle \frac{5}{-20}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

En los dos casos la imagen es real e invertida, y los dos aumentos son inversos el uno del otro. Las dos posiciones son simétricas respecto del punto medio, que es la propiedad en la que se basa el método de Bessel para medir distancias focales.