Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

Calcule la longitud de onda asociada a un electrón que, partiendo del reposo, es acelerado mediante una diferencia de potencial de 3250 V.

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; $m_{\text{e}}=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $e=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$

El electrón parte del reposo, de modo que todo el trabajo que hace el campo eléctrico sobre él se convierte en energía cinética:

$e\mathrm{\Delta }V={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2$

Se despeja la velocidad:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2e\mathrm{\Delta }V}{m_e}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\cdot 3250}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v=\mathrm{3,38}\cdot {10}^7\text{ m/s}$

Y con ella, la longitud de onda asociada que predice la hipótesis de De Broglie:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{3,38}\cdot {10}^7}}$

$\lambda =\mathrm{2,15}\cdot {10}^{-11}\text{ m}$

La longitud de onda asociada es de $\mathrm{2,15}\cdot {10}^{-11}\text{ m}$, es decir, 0,0215 nm. Es del orden de la separación entre los átomos de un cristal, y por eso electrones acelerados con unos pocos kilovoltios sirven para estudiar su estructura por difracción.