Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Tres hilos conductores paralelos, rectilíneos y de longitud infinita se sitúan perpendicularmente a un triángulo equilátero de 30 cm de lado, uno en cada vértice. Por dos de ellos circulan corrientes eléctricas de 2 A en el mismo sentido (ver figura). Determine la fuerza por unidad de longitud que experimenta el tercer hilo, si por él circula una corriente eléctrica de 3 A en sentido contrario a las anteriores.

Dato: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\text{ N}{\text{A}}^{-2}$

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores rectilíneos paralelos e indefinidos vale:

${\displaystyle \frac{F}{\mathrm{\ell }}}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I{I}^{\mathrm{\prime }}}{2\pi d}}$

y es de repulsión cuando las corrientes circulan en sentidos contrarios, que es lo que ocurre aquí entre el tercer hilo y cada uno de los otros dos.





Los tres vértices son de un triángulo equilátero, de modo que el tercer hilo está a la misma distancia de los otros dos:

$d=30\text{ cm}=\mathrm{0,30}\text{ m}$

${\displaystyle \frac{F_1}{\mathrm{\ell }}}={\displaystyle \frac{F_2}{\mathrm{\ell }}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 2\cdot 3}{2\pi \cdot \mathrm{0,30}}}=\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-6}\text{ N/m}$

Las dos fuerzas son repulsivas y van dirigidas a lo largo de los lados del triángulo, alejándose de cada uno de los hilos de 2 A. Como el triángulo es equilátero, forman entre sí un ángulo de ${60}^{\circ }$, y sus componentes horizontales se cancelan por simetría:

${\displaystyle \frac{F}{\mathrm{\ell }}}=2\cdot {\displaystyle \frac{F_1}{\mathrm{\ell }}}\cos {30}^{\circ }=2\cdot \mathrm{4,0}\cdot {10}^{-6}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

${\displaystyle \frac{F}{\mathrm{\ell }}}=\mathrm{6,9}\cdot {10}^{-6}\text{ N/m}$

La fuerza por unidad de longitud sobre el tercer hilo vale $\mathrm{6,9}\cdot {10}^{-6}\text{ N/m}$ y está dirigida a lo largo de la altura del triángulo, alejándose de los otros dos conductores.