Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Por tres hilos rectilíneos $A$, $B$ y $C$, muy largos y paralelos, circula la misma intensidad de 2 A. Su posición y el sentido de la corriente se muestran en la figura. Calcule el vector campo magnético generado en el punto medio $M$ de la hipotenusa. Realice un diagrama ilustrativo que muestre el campo que produce cada hilo en ese punto, así como el campo total.

Dato: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\text{ N}{\text{A}}^{-2}$

El módulo del campo que crea un hilo rectilíneo indefinido es:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}}$

y su dirección es perpendicular a la recta que une el hilo con el punto, con el sentido que da la regla de la mano derecha.

El punto $M$ es el punto medio de la hipotenusa, y en un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices.





Esa distancia es la mitad de la hipotenusa:

$d={\displaystyle \frac{\sqrt{1^2+1^2}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\mathrm{0,707}\text{ m}$

Como los tres hilos llevan la misma corriente y están a la misma distancia, los tres campos tienen el mismo módulo:

$B_A=B_B=B_C={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 2}{2\pi \cdot \mathrm{0,707}}}=\mathrm{5,66}\cdot {10}^{-7}\text{ T}$

Ahora hay que mirar las direcciones, y aquí está la gracia del ejercicio. Los hilos $A$ y $B$ llevan la corriente saliente y están alineados con $M$ sobre la hipotenusa, uno a cada lado. Sus campos son perpendiculares a esa recta, pero de sentidos opuestos, y como tienen el mismo módulo se cancelan:

${\vec{B}}_A+{\vec{B}}_B=\vec{0}$

Solo queda el campo del hilo $C$, cuya corriente es entrante. La recta $CM$ forma ${45}^{\circ }$ con los ejes, así que su campo es perpendicular a ella y apunta hacia abajo y a la derecha:

${\vec{B}}_M={\vec{B}}_C=\mathrm{5,66}\cdot {10}^{-7}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\vec{\mathrm{ı}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\vec{\mathrm{ȷ}})$

${\vec{B}}_M=(\mathrm{4,0}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{4,0}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-7}\text{ T}$

El campo total en $M$ vale $\mathrm{5,66}\cdot {10}^{-7}\text{ T}$ y forma $-{45}^{\circ }$ con el eje $X$.