Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

El número de zancadas por minuto que realiza un corredor en su entrenamiento diario de 60 minutos viene dado por la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}70& \text{si }0\le x\le 40\\ {\displaystyle \frac{1}{10}}{x}^2-11x+350& \text{si }40<x\le 60\end{array}$

donde $x$ representa el tiempo de entrenamiento transcurrido, medido en minutos.

a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y calcular el momento en el que alcanza el número de zancadas mínimo. ¿Cuál es el número de zancadas mínimo? (hasta 2 puntos)
b) Representar gráficamente la función $f(x)$, justificando brevemente la representación gráfica obtenida. (hasta 1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{zancadas}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{zancadas}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}(\text{hasta }2\text{ puntos})$

En el primer tramo, $0\le x\le 40$, la función es constante e igual a 70: ni crece ni decrece.

En el segundo tramo, $40<x\le 60$, se deriva:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}{x}^2-11x+350\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{5}}-11$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{5}}=11\Rightarrow x=55$

El valor pertenece al tramo. Se toma un valor de prueba a cada lado:

$f^{\mathrm{\prime }}(45)=9-11=-2<0$, la función decrece.

$f^{\mathrm{\prime }}(58)=\mathrm{11,6}-11=\mathrm{0,6}>0$, la función crece.



La función es constante en $[0,40]$, decrece en $(40,55)$ y crece en $(55,60]$.

Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $x=55$ hay un mínimo:

$f(55)={\displaystyle \frac{{55}^2}{10}}-11\cdot 55+350={\displaystyle \frac{3025}{10}}-605+350=\mathrm{302,5}-255=\mathrm{47,5}$

El número mínimo de zancadas por minuto es 47,5 y se alcanza a los 55 minutos de entrenamiento.



Para dibujarla se reúne lo que ya se sabe.

En $[0,40]$ la gráfica es un segmento horizontal a la altura 70.

En $(40,60]$ es un trozo de parábola con las ramas hacia arriba, porque el coeficiente de $x^2$ es ${\displaystyle \frac{1}{10}}>0$, con el vértice en el mínimo $(55;\mathrm{47,5})$.

Las dos piezas empalman sin salto, porque en $x=40$ el segundo trozo vale

${\displaystyle \frac{{40}^2}{10}}-11\cdot 40+350=160-440+350=70$

igual que el primero: la función es continua.

El entrenamiento acaba en $x=60$, donde

$f(60)={\displaystyle \frac{3600}{10}}-660+350=360-310=50$



El corredor mantiene 70 zancadas por minuto durante los primeros 40 minutos, después baja hasta el mínimo de 47,5 en el minuto 55 y remonta ligeramente hasta 50 al terminar.