Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Sabiendo que la Luna tiene una masa aproximadamente 81 veces menor que la de Tierra y un radio cuatro veces menor que el de la Tierra.

a) (0.75 puntos) ¿Cuánta masa deberíamos añadir a un astronauta de 70 kg para que su peso en la luna fuese el mismo que en la tierra?
b) (1 punto) ¿Cuál es la velocidad de escape de un cuerpo situado en la superficie de la Luna?
c) (0.75 puntos) ¿A qué distancia del centro de la tierra se sitúa el punto entre la Tierra y la Luna en el cual la gravedad es cero (conocido como punto Lagrange-1)?

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{Tierra}}=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6\text{ m}$; ${\text{Distancia}}_{\text{T-L}}=\mathrm{3,84}\cdot {10}^8\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nta}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{adir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{astronauta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luna}}\mathbf{\text{fuese}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tierra?}}$

Se compara primero la gravedad de superficie de los dos cuerpos. Como $g=GM\mathrm{/}{R}^2$:

${\displaystyle \frac{g_L}{g_T}}={\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}{\left({\displaystyle \frac{R_T}{R_L}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{81}}\cdot 4^2={\displaystyle \frac{16}{81}}=\mathrm{0,198}$

La gravedad lunar es, por tanto, algo menos de la quinta parte de la terrestre.

Para que el peso en la Luna sea el mismo que el peso terrestre del astronauta:

$m^{\mathrm{\prime }}{g}_L=m{g}_T\Rightarrow m^{\mathrm{\prime }}=m{\displaystyle \frac{g_T}{g_L}}=70\cdot {\displaystyle \frac{81}{16}}$

$m^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{354,4}\text{ kg}$

$\mathrm{\Delta }m=m^{\mathrm{\prime }}-m=\mathrm{354,4}-70=\mathrm{284,4}\text{ kg}$

Habría que añadirle $\mathrm{284,4}\text{ kg}$: en total tendría que pesar en la Luna lo que un cuerpo de $\mathrm{354,4}\text{ kg}$, cinco veces su masa real.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna?}}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{L}m}{R_L}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_L}{R_L}}}$

Se calculan la masa y el radio de la Luna a partir de los datos terrestres:

$M_L={\displaystyle \frac{M_T}{81}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{81}}=\mathrm{7,37}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$

$R_L={\displaystyle \frac{R_T}{4}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,371}\cdot {10}^6}{4}}=\mathrm{1,59}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,37}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,59}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{2,48}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde la superficie lunar es de $\mathrm{2,48}\text{ km/s}$, casi cinco veces menor que la terrestre. Por eso la Luna no ha podido retener atmósfera.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tierra}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{cero}}\mathbf{\text{(conocido}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{Lagrange-1)?}}$



Los dos campos gravitatorios son atractivos, de modo que fuera del segmento que une los dos cuerpos apuntan en el mismo sentido y no pueden cancelarse.

Solo entre la Tierra y la Luna tienen sentidos opuestos, y allí se anulan cuando sus módulos coinciden:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{x^2}}=G{\displaystyle \frac{M_L}{(d-x{)}^2}}$

Tomando raíces cuadradas en ambos miembros y usando que $M_T=81M_L$:

${\displaystyle \frac{d-x}{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{81}}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$

$9(d-x)=x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{9}{10}}d$

$x=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{3,84}\cdot {10}^8=\mathrm{3,46}\cdot {10}^8\text{ m}$

El punto neutro está a $\mathrm{3,46}\cdot {10}^8\text{ m}$ del centro de la Tierra, es decir, a nueve décimas partes del camino: mucho más cerca de la Luna, como corresponde al cuerpo menos masivo.