Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2025

La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda horizontal, según el eje OX, viene dada por $y(x,t)=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}[\pi (10x+20t+2)]$, donde las magnitudes se expresan en el S.I. de unidades.

a) (1.25 puntos) Determina la amplitud, la longitud de onda, la fase inicial y la velocidad, dirección y sentido de propagación de la onda.
b) (0.25 puntos) Representa la elongación del punto $x=1$ m en función del tiempo, durante el primer periodo del movimiento.

Dato: $g_0=\mathrm{9,8}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad,}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

Se desarrolla el paréntesis de la ecuación dada para poder identificar los términos con los de la ecuación general de una onda armónica:

$y(x,t)=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}[\pi (10x+20t+2)]=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}(20\pi t+10\pi x+2\pi )$

Comparándola con:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

se identifica término a término:

$A=\mathrm{0,05}\text{ m}$

$\omega =20\pi \text{ rad/s}\Rightarrow f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}=10\text{ Hz}\Rightarrow T=\mathrm{0,1}\text{ s}$

$k=10\pi \text{ rad/m}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{10\pi }}=\mathrm{0,2}\text{ m}$

${\phi }_0=2\pi \text{ rad}$

La fase inicial de $2\pi$ radianes equivale a una fase nula, porque el seno tiene periodo $2\pi$.

La velocidad de propagación es:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{20\pi }{10\pi }}=2\text{ m/s}$

En cuanto al sentido, los términos en $t$ y en $x$ tienen el $\mathbf{\text{mismo}}$ signo, y eso significa que la onda se propaga en el sentido $\mathbf{\text{negativo}}$ del eje OX: para que la fase se mantenga constante, al aumentar $t$ tiene que disminuir $x$.

La onda se propaga por la cuerda a $2\text{ m/s}$ en la dirección del eje OX y en sentido negativo, con amplitud $\mathrm{0,05}\text{ m}$ y longitud de onda $\mathrm{0,2}\text{ m}$.



Se sustituye $x=1\text{ m}$ en la ecuación de la onda:

$y(1,t)=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}(20\pi t+10\pi +2\pi )=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}(20\pi t+12\pi )$

Como $12\pi$ es un múltiplo entero de $2\pi$, la fase se puede suprimir:

$y(1,t)=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}(20\pi t)$

Ese punto describe, por tanto, un movimiento armónico simple de amplitud $\mathrm{0,05}\text{ m}$ y periodo $\mathrm{0,1}\text{ s}$, que parte del origen moviéndose hacia elongaciones positivas: