Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

La disolución resultante de disolver en agua $270\ \text{mg}$ de ácido cianhídrico, $\text{HCN}$, hasta alcanzar un volumen final de disolución de $50\ \text{mL}$ presenta un $\text{pH} = 4{,}92$ a 25 °C. Calcule el valor del grado de ionización y de la constante $K_{\text{a}}$ del ácido en la disolución acuosa a 25 °C.

Datos: masas atómicas: $\text{C} = 12\ \text{u}$; $\text{N} = 14\ \text{u}$; $\text{H} = 1\ \text{u}$.

Hay que calcular dos cosas, el grado de ionización y la constante de acidez, y las dos salen del mismo punto de partida: la concentración inicial del ácido y la de protones en el equilibrio.

La concentración inicial, a partir de la masa disuelta:

$M(\mathrm{HCN}) = 1 + 12 + 14 = 27\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$

$n = \frac{270 \cdot 10^{-3}}{27} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{mol}$

$c_0 = \frac{1{,}0 \cdot 10^{-2}}{50 \cdot 10^{-3}} = 0{,}20\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

Y la concentración de protones, del pH:

$[\mathrm{H_3O^+}] = 10^{-\mathrm{pH}} = 10^{-4{,}92} = 1{,}20 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

El grado de ionización es la fracción del ácido que se ha disociado, y como cada molécula que se disocia libera un protón:

$\alpha = \frac{[\mathrm{H_3O^+}]}{c_0} = \frac{1{,}20 \cdot 10^{-5}}{0{,}20}$

$\alpha = 6{,}0 \cdot 10^{-5}$

Es decir, solo se ha ionizado el 0,006 % del ácido cianhídrico: es un ácido extraordinariamente débil.

Para la constante hacen falta las tres concentraciones del equilibrio. Por cada protón formado aparece un cianuro y desaparece una molécula de $\mathrm{HCN}$:

$\mathrm{HCN} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{CN^-} + \mathrm{H_3O^+}$

$[\mathrm{CN^-}] = [\mathrm{H_3O^+}] = 1{,}20 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{M}$

$[\mathrm{HCN}] = c_0\,(1 - \alpha) = 0{,}20 \cdot (1 - 6{,}0 \cdot 10^{-5}) \approx 0{,}20\ \mathrm{M}$

Aquí sí es lícito aproximar, y de sobra: lo disociado es una parte en veinte mil de lo que había.

$K_{\mathrm{a}} = \frac{[\mathrm{CN^-}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{HCN}]} = \frac{(1{,}20 \cdot 10^{-5})^2}{0{,}20} = \frac{1{,}45 \cdot 10^{-10}}{0{,}20}$

$K_{\mathrm{a}} = 7{,}2 \cdot 10^{-10}$

La constante confirma lo que decía el grado de ionización. Su consecuencia práctica es notable: el anión cianuro es, correspondientemente, una base bastante fuerte, y por eso las sales de cianuro dan disoluciones muy básicas y desprenden $\mathrm{HCN}$ en cuanto se acidulan.