Ejercicio resuelto de pH · Química · Asturias · 2023

Calcule, a 25 °C, el pH de una disolución acuosa $10^{-4{,}0}\ \text{M}$ de $\text{HCOOH}$ ($pK_{\text{a}} = 3{,}8$).

El ácido metanoico es un ácido débil, así que hay que plantear su equilibrio de ionización. El dato viene como $pK_{\mathrm{a}}$, de modo que lo primero es pasarlo a constante:

$K_{\mathrm{a}} = 10^{-pK_{\mathrm{a}}} = 10^{-3{,}8} = 1{,}58 \cdot 10^{-4}$

Y la concentración inicial, del mismo modo:

$c_0 = 10^{-4{,}0} = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

$\mathrm{HCOOH} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HCOO^-} + \mathrm{H_3O^+}$

$$	$\mathrm{HCOOH}$	$\mathrm{HCOO^-}$	$\mathrm{H_3O^+}$ Inicial (M)	$1{,}0 \cdot 10^{-4}$	0	0 Cambio (M)	−x	+x	+x Equilibrio (M)	$1{,}0 \cdot 10^{-4} - x$	x	x

$K_{\mathrm{a}} = \frac{x^2}{1{,}0 \cdot 10^{-4} - x} = 1{,}58 \cdot 10^{-4}$

Aquí es imprescindible resolver la ecuación completa, sin aproximar. La razón se ve de un golpe comparando la constante con la concentración:

$\frac{K_{\mathrm{a}}}{c_0} = \frac{1{,}58 \cdot 10^{-4}}{1{,}0 \cdot 10^{-4}} = 1{,}6$

La constante es incluso $\textbf{mayor}$ que la concentración inicial, así que la disolución está tan diluida que el ácido se disocia en gran medida y despreciar $x$ frente a $c_0$ carecería de sentido.

$x^2 + 1{,}58 \cdot 10^{-4}\,x - 1{,}58 \cdot 10^{-8} = 0$

$x = \frac{-1{,}58 \cdot 10^{-4} + \sqrt{(1{,}58 \cdot 10^{-4})^2 + 4 \cdot 1{,}58 \cdot 10^{-8}}}{2}$

$x = \frac{-1{,}58 \cdot 10^{-4} + \sqrt{8{,}85 \cdot 10^{-8}}}{2} = \frac{-1{,}58 \cdot 10^{-4} + 2{,}98 \cdot 10^{-4}}{2}$

$x = [\mathrm{H_3O^+}] = 6{,}95 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

$\mathrm{pH} = -\log(6{,}95 \cdot 10^{-5}) = 4{,}16$

El pH de la disolución es 4,16. El grado de ionización que corresponde a ese resultado es

$\alpha = \frac{6{,}95 \cdot 10^{-5}}{1{,}0 \cdot 10^{-4}} = 0{,}70$

es decir, se ha disociado el 70 % del ácido. Es la ley de dilución de Ostwald en su forma más extrema: un ácido débil suficientemente diluido se comporta casi como uno fuerte. Nótese también que la aproximación habitual habría dado $x = \sqrt{K_{\mathrm{a}}\,c_0} = 1{,}26 \cdot 10^{-4}$, mayor que la propia concentración inicial del ácido, lo que es absurdo.