Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2020

Un pescador percibe que su barca se mueve periódicamente arriba y abajo impulsada por las olas en la superficie del mar. La barca tarda 3 s en desplazarse desde el punto más alto al punto más bajo, distantes entre sí 60 cm. En un instante dado la distancia entre dos crestas consecutivas de las olas es de 8 m.

a) Calcule la velocidad a la que se desplazan las olas. [1 punto]

b) Escriba la ecuación de la onda asociada a las olas en la superficie del mar, considerando que en el instante inicial que se producen las olas, la barca del pescador tiene desplazamiento nulo respecto al mar en calma. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplazan}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{olas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La barca describe un movimiento armónico simple: sube y baja sin desplazarse con la onda. El tiempo que tarda en ir del punto más alto al más bajo es medio período:

$\frac{T}{2}=3\text{ s}\Rightarrow T=6\text{ s}$

$f=\frac{1}{T}=\mathrm{0,167}\text{ Hz}$

La distancia entre dos crestas consecutivas es, por definición, la longitud de onda:

$\lambda =8\text{ m}$

Y la velocidad de propagación es el producto de las dos:

$v=\lambda f=\frac{\lambda }{T}=\frac{8}{6}$

$v=\mathrm{1,33}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Las olas avanzan a $\mathrm{1,33}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{olas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mar,}}\mathbf{\text{considerando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{olas,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{barca}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pescador}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{desplazamiento}}\mathbf{\text{nulo}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{calma.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$ se escribe:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La amplitud es la mitad de la distancia entre el punto más alto y el más bajo:

$2A=60\text{ cm}\Rightarrow A=30\text{ cm}=\mathrm{0,30}\text{ m}$

La frecuencia angular y el número de onda se obtienen del período y de la longitud de onda:

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{6}=\mathrm{1,05}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$

$k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{8}=\mathrm{0,785}\text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}$

Tomando el origen de coordenadas en la posición de la barca, la condición inicial dice que su elongación es nula en $t=0$:

$y(0,0)=A\text{sen}{\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=0$

$y(x,t)=\mathrm{0,30}\text{sen}(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{4}x)\text{ m}$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos. La velocidad máxima con la que sube y baja la barca es $A\omega =\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{1,05}=\mathrm{0,314}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, muy inferior a la velocidad con que avanzan las olas.