Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

Un campo magnético espacialmente uniforme, y variable en el tiempo, según la expresión $B(t)=\mathrm{0,1}\cos (2t)\text{ T}$, atraviesa perpendicularmente una espira circular de 6 centímetros de radio.

a) Halle la expresión para el flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo. [1 punto]

b) Halle la expresión para la fuerza electromotriz inducida sobre la espira en función del tiempo. [1 punto]

c) ¿Es la fuerza electromotriz inducida una función periódica? En caso afirmativo, halle su periodo. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{flujo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{atraviesa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El flujo magnético a través de una superficie plana es:

$\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \phi$

y como el campo es perpendicular a la espira, el ángulo es nulo y el coseno vale uno.





Se calcula el área de la espira, con el radio en metros:

$S=\pi R^2=\pi \cdot (\mathrm{0,06}{)}^2=\mathrm{1,13}\cdot {10}^{-2}{\text{m}}^2$

$\mathrm{\Phi }(t)=B(t)S=\mathrm{0,1}\cos (2t)\cdot \mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}$

$\mathrm{\Phi }(t)=\mathrm{1,13}\cdot {10}^{-3}\cos \left(2t\right)\text{ Wb}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Por la ley de inducción de Faraday y Lenz:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}$

Se deriva la expresión del flujo respecto del tiempo:

${\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-\mathrm{1,131}\cdot {10}^{-3}\cdot 2\mathrm{sen}(2t)$

$\epsilon =\mathrm{2,26}\cdot {10}^{-3}\mathrm{sen}\left(2t\right)\text{ V}$

La fuerza electromotriz inducida es alterna, con un valor máximo de $\mathrm{2,26}\text{ mV}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{peri}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dica?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{halle}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{periodo.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sí lo es: la fuerza electromotriz es una función seno del tiempo, y por tanto periódica, con la misma frecuencia angular con la que varía el campo:

$\omega =2\text{ rad/s}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}$

$T=\pi \text{ s}=\mathrm{3,14}\text{ s}$

Cada $\mathrm{3,14}\text{ s}$ se repite el ciclo completo de la fuerza electromotriz, que cambia de sentido dos veces en cada periodo.