Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2023

La energía de extracción (o función de trabajo) del zinc es de 4,3 eV. Si se ilumina la superficie de este material con luz de longitud de onda $\lambda =200\text{ nm}$. Calcule:

a) La frecuencia umbral del metal. [1 punto]

b) El potencial de frenado de los electrones emitidos. [1,5 puntos]

Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metal.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



La frecuencia umbral es la mínima que ha de tener la radiación para arrancar electrones: la de los fotones cuya energía es justo el trabajo de extracción.

$W_0=h{f}_0$

Se pasa primero el trabajo de extracción a unidades del Sistema Internacional:

$W_0=\mathrm{4,3}\text{ eV}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}}{1\text{ eV}}}=\mathrm{6,88}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$f_0={\displaystyle \frac{W_0}{h}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,88}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}}$

$f_0=\mathrm{1,04}\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula la energía de los fotones incidentes:

$E=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{200\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{9,95}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Como esa energía supera el trabajo de extracción, sí hay emisión. Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$E_{c,\max }=E-W_0=\mathrm{9,945}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{6,88}\cdot {10}^{-19}$

$E_{c,\max }=\mathrm{3,07}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_0=E_{c,\max }\Rightarrow V_0={\displaystyle \frac{\mathrm{3,065}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}$

$V_0=\mathrm{1,92}\text{ V}$

Con una diferencia de potencial de $\mathrm{1,92}\text{ V}$ ningún electrón llega al otro electrodo y la corriente fotoeléctrica se anula.