Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2024

Al cabo de 150 días, la actividad radiactiva de una muestra de ${10}^{20}$ átomos de cierto elemento ha descendido un 40 %.

a) ¿Cuál es la constante de desintegración? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál será la actividad de la muestra y cuántos átomos del elemento quedarán al cabo de los 150 días? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La desintegración radiactiva sigue una ley exponencial, tanto para el número de núcleos como para la actividad, que es proporcional a él:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}A=A_0{e}^{-\lambda t}$





Que la actividad haya descendido un 40 % significa que queda el 60 % de la inicial:

$A=\mathrm{0,6}{A}_0$

Se sustituye en la ley de desintegración y se toman logaritmos neperianos:

$\mathrm{0,6}{A}_0=A_0{e}^{-\lambda \cdot 150}\Rightarrow \ln \mathrm{0,6}=-150\lambda$

$\lambda =-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,6}}{150}}=\mathrm{3,41}\cdot {10}^{-3}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

Conviene expresarla también en unidades del Sistema Internacional, porque hará falta para la actividad:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{3,41}\cdot {10}^{-3}}{24\cdot 3600}}=\mathrm{3,94}\cdot {10}^{-8}{\text{s}}^{-1}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que se desintegre la mitad de los núcleos de la muestra:

${\displaystyle \frac{N_0}{2}}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{3,41}\cdot {10}^{-3}}}$

$T_{1\mathrm{/}2}=204\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{elemento}}\mathbf{\text{quedar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El número de núcleos sin desintegrar disminuye en la misma proporción que la actividad, ya que ambas magnitudes son proporcionales:

$N=\mathrm{0,6}{N}_0=\mathrm{0,6}\cdot {10}^{20}$

$N=6\cdot {10}^{19}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

La actividad es el producto de la constante de desintegración, en ${\text{s}}^{-1}$, por el número de núcleos presentes:

$A=\lambda N=\mathrm{3,94}\cdot {10}^{-8}\cdot 6\cdot {10}^{19}$

$A=\mathrm{2,36}\cdot {10}^{12}\text{ Bq}$

A los 150 días quedan $6\cdot {10}^{19}$ átomos sin desintegrar y la muestra tiene una actividad de $\mathrm{2,36}\cdot {10}^{12}\text{ Bq}$.