Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2023

Una muestra radiactiva tiene una actividad de 5000 Bq en el momento de su obtención. Al cabo de 2 horas su actividad es de 1000 Bq. Calcule:

a) El valor de la constante de desintegración radiactiva y el periodo de semidesintegración de la muestra. [1 punto]

b) El número inicial de núcleos. [0,75 puntos]

c) Los núcleos que quedan al cabo de 3 horas. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La actividad de una muestra radiactiva decae exponencialmente con el tiempo:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

porque es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar.





Se sustituyen los datos, con el tiempo expresado en segundos para que la constante salga en unidades del Sistema Internacional:

$t=2\text{ h}=7200\text{ s}$

$1000=5000e^{-\lambda \cdot 7200}\Rightarrow \ln {\displaystyle \frac{1}{5}}=-7200\lambda$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 5}{7200}}=\mathrm{2,24}\cdot {10}^{-4}{\text{s}}^{-1}$

El periodo de semidesintegración se obtiene de la constante:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{2,235}\cdot {10}^{-4}}}$

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{3,10}\cdot {10}^3\text{ s}$

Es decir, unos $\mathrm{51,7}$ minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo y vale:

$A=\lambda N\Rightarrow N_0={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}$

$N_0={\displaystyle \frac{5000}{\mathrm{2,235}\cdot {10}^{-4}}}$

$N_0=\mathrm{2,24}\cdot {10}^7\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quedan}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{horas.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica la ley de desintegración radiactiva al número de núcleos, con el tiempo en segundos:

$t=3\text{ h}=10800\text{ s}$

$N=N_0{e}^{-\lambda t}=\mathrm{2,237}\cdot {10}^7{e}^{-\mathrm{2,235}\cdot {10}^{-4}\cdot 10800}$

$N=\mathrm{2,237}\cdot {10}^7{e}^{-\mathrm{2,414}}$

$N=\mathrm{2,00}\cdot {10}^6\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Al cabo de tres horas, algo menos de dos periodos de semidesintegración, quedan unos $\mathrm{2,00}\cdot {10}^6$ núcleos radiactivos.