Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Aragón · 2021

a) Explique cuál debe ser la posición de un objeto respecto a una lente delgada convergente para obtener una imagen real e invertida. Justifíquelo gráficamente mediante un trazado de rayos. [1 punto]

Se dispone de una lente cuya distancia focal imagen es $f^{\mathrm{\prime }}=-10\text{ cm}$.

b) Calcule la potencia de la lente. [0,5 puntos]

c) Determine la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 5 cm de altura cuando se coloca a 30 cm de la lente. Compruebe gráficamente sus resultados mediante un trazado de rayos. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{delgada}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{real}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{invertida.}}\mathbf{\text{Justif}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quelo}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Con una lente convergente, la imagen es real e invertida siempre que el objeto se sitúe más allá del foco objeto, es decir, a una distancia de la lente mayor que la distancia focal.



El trazado de rayos lo justifica. El rayo paralelo al eje emerge pasando por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$, y el que pasa por el centro óptico no se desvía. Cuando el objeto está más lejos que el foco, esos dos rayos emergentes convergen realmente al otro lado de la lente y se cortan por debajo del eje: la imagen es real, porque se forma con rayos reales y puede recogerse sobre una pantalla, e invertida.

El tamaño depende de la posición: la imagen es menor que el objeto si este está más allá del doble de la focal, igual si está justo en el doble y mayor si está entre el foco y el doble de la focal. Cuando el objeto se coloca dentro de la distancia focal, en cambio, los rayos emergentes divergen y la imagen pasa a ser virtual y derecha.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal imagen expresada en metros:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,10}}}$

$P=-10\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La potencia de la lente es de $-10\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$. El signo negativo indica que se trata de una lente divergente, así que el caso del apartado anterior —imagen real e invertida— no puede darse con ella.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{coloca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se usa el criterio DIN, con el origen en el centro óptico y las distancias medidas desde él: $s=-30\text{ cm}$ y $f^{\mathrm{\prime }}=-10\text{ cm}$.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-10}}+{\displaystyle \frac{1}{-30}}=-{\displaystyle \frac{4}{30}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{7,5}\text{ cm}$

El aumento lateral:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{7,5}}{-30}}=\mathrm{0,25}$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=\mathrm{0,25}\cdot 5=\mathrm{1,25}\text{ cm}$



La imagen se forma a $\mathrm{7,5}\text{ cm}$ de la lente, del mismo lado que el objeto, y mide $\mathrm{1,25}\text{ cm}$. Al ser $s^{\mathrm{\prime }}<0$ es virtual y al ser el aumento positivo y menor que la unidad, derecha y más pequeña que el objeto. El trazado de rayos lo confirma: los rayos emergentes divergen y son sus prolongaciones las que se cortan, siempre entre el foco y la lente. Una lente divergente da este mismo tipo de imagen sea cual sea la posición del objeto.