Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Aragón · 2023

Al cabo de 30 días, la actividad radiactiva de cierto elemento ha descendido un 20 %.

a) ¿Cuál es la constante de desintegración, $\lambda$? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración? [0,75 puntos]

c) Explique la ley de desintegración radiactiva. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos sin desintegrar, así que sigue la misma ley exponencial:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Que la actividad haya descendido un 20 por ciento significa que queda el 80 por ciento de la inicial:

${\displaystyle \frac{A}{A_0}}=\mathrm{0,80}$





Se toman logaritmos y se despeja la constante de desintegración:

$\ln \left({\displaystyle \frac{A}{A_0}}\right)=-\lambda t\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,80}}{t}}$

Con el tiempo en unidades del Sistema Internacional:

$t=30\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot {\displaystyle \frac{86400\text{ s}}{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{2,59}\cdot {10}^6\text{ s}$

$\lambda =-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,80}}{\mathrm{2,59}\cdot {10}^6}}=\mathrm{8,61}\cdot {10}^{-8}{\text{s}}^{-1}$

La constante de desintegración vale $\mathrm{8,61}\cdot {10}^{-8}{\text{s}}^{-1}$. También puede darse en días elevados a menos uno, $\mathrm{7,44}\cdot {10}^{-3}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$, sin más que dejar el tiempo en días.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que debe transcurrir para que quede la mitad de los núcleos, o lo que es lo mismo, la mitad de la actividad:

${\displaystyle \frac{1}{2}}=e^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{8,61}\cdot {10}^{-8}}}=\mathrm{8,05}\cdot {10}^6\text{ s}$

El periodo de semidesintegración es de $\mathrm{8,05}\cdot {10}^6\text{ s}$, es decir, 93,2 días. Tiene sentido que sea bastante mayor que los 30 días del enunciado, porque en ese tiempo la actividad solo había bajado un 20 por ciento, no la mitad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La desintegración de un núcleo es un proceso aleatorio: no se puede predecir cuándo se desintegrará un núcleo concreto. Lo que sí es constante, y característico de cada isótopo, es la probabilidad de que un núcleo se desintegre por unidad de tiempo, y esa probabilidad es la constante de desintegración $\lambda$. No depende del tiempo que el núcleo lleve existiendo ni de las condiciones externas de presión o temperatura.

Si en una muestra hay $N$ núcleos, el número de desintegraciones por unidad de tiempo es proporcional a ese número:

$-{\displaystyle \frac{dN}{dt}}=\lambda N$

Integrando esta ecuación se obtiene la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

donde $N_0$ es el número de núcleos presentes en el instante inicial y $N$ los que quedan sin desintegrar al cabo de un tiempo $t$. La disminución es exponencial, de modo que en cada intervalo de duración $T_{1\mathrm{/}2}$ el número de núcleos se reduce a la mitad, como muestra la gráfica.

La actividad, $A=\lambda N$, que es el número de desintegraciones por segundo y se mide en becquerelios, sigue la misma ley exponencial.