Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Aragón · 2025

Si al cabo de 40 días y 5 horas la actividad radiactiva de un compuesto ha descendido al 25 %, ¿cuál es la constante de desintegración del compuesto? [0,5 puntos] ¿Cuál es el periodo de semidesintegración? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{compuesto}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{descendido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{compuesto?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La actividad de una muestra radiactiva decae exponencialmente con el tiempo, con la misma constante que el número de núcleos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se impone que al cabo de ese tiempo quede la cuarta parte:

$\mathrm{0,25}=e^{-\lambda t}$





Se toman logaritmos neperianos y se despeja la constante de desintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{-\ln \mathrm{0,25}}{t}}={\displaystyle \frac{\ln 4}{t}}$

El tiempo se pasa a segundos:

$t=40\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot 24+5\text{ h}=965\text{ h}=\mathrm{3,474}\cdot {10}^6\text{ s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 4}{\mathrm{3,474}\cdot {10}^6}}=\mathrm{3,99}\cdot {10}^{-7}{\text{s}}^{-1}$

La constante de desintegración vale $\mathrm{3,99}\cdot {10}^{-7}{\text{s}}^{-1}$: de cada diez millones de núcleos se desintegran unos cuatro por segundo.

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad. Se obtiene imponiendo $A=A_0\mathrm{/}2$ en la ley de desintegración:

${\displaystyle \frac{1}{2}}=e^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{3,99}\cdot {10}^{-7}}}=\mathrm{1,74}\cdot {10}^6\text{ s}$

El periodo de semidesintegración es de $\mathrm{1,74}\cdot {10}^6\text{ s}$, es decir, $\mathrm{482,5}\text{ h}$: 20 días y 2,5 horas. Es coherente con el enunciado, porque en dos semiperiodos la actividad cae al 25 % y el tiempo dado es justo el doble.