Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla-La Mancha · 2023

Procedente de un foco dentro de una piscina con agua ($n=\mathrm{1,33}$), llegan a la superficie agua-aire varios rayos con distinta inclinación. Se ha rellenado una tabla, pero sospechamos que algunos valores de ángulo refractado pueden ser incorrectos, y hay otros que faltan por rellenar. Copie la tabla en su cuadernillo, corrija los valores incorrectos y complete los que faltan explicando cómo lo ha hecho.

Rayo	1	2	3	4	5	6 ${\theta }_{\text{incidente}}\text{ (grados)}$	36	40	45	46	52	60 ${\theta }_{\text{refractado}}\text{ (grados)}$	51,4		19,8	No hay haz	120

Los rayos van del agua al aire, es decir, de un medio más denso ópticamente a otro menos denso. La ley de Snell da el ángulo refractado:

$n_{\text{agua}}\text{sen}{\theta }_i=n_{\text{aire}}\text{sen}{\theta }_r$

$\text{sen}{\theta }_r=\mathrm{1,33}\text{sen}{\theta }_i$

Como el seno no puede superar la unidad, existe un ángulo límite por encima del cual no hay rayo refractado.





$\mathrm{1,33}\text{sen}{\theta }_L=1\Rightarrow {\theta }_L=\arcsin \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,33}}}\right)={\mathrm{48,8}}^{\circ }$

Ese ángulo límite es la clave para revisar la tabla: cualquier rayo que incida con más de ${\mathrm{48,8}}^{\circ }$ sufre reflexión total y no sale al aire.

Se comprueban ahora las casillas una por una:

$\text{Rayo 1 }({36}^{\circ })\text{: sen}{\theta }_r=\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,588}=\mathrm{0,782}\Rightarrow {\theta }_r={\mathrm{51,4}}^{\circ }$

El valor de la tabla es correcto.

$\text{Rayo 2 }({40}^{\circ })\text{: sen}{\theta }_r=\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,643}=\mathrm{0,855}\Rightarrow {\theta }_r={\mathrm{58,7}}^{\circ }$

La casilla estaba vacía; este es el valor que le corresponde.

$\text{Rayo 3 }({45}^{\circ })\text{: sen}{\theta }_r=\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,707}=\mathrm{0,940}\Rightarrow {\theta }_r={\mathrm{70,2}}^{\circ }$

La tabla daba ${\mathrm{19,8}}^{\circ }$, que es incorrecto. Nótese que ${\mathrm{19,8}}^{\circ }={90}^{\circ }-{\mathrm{70,2}}^{\circ }$: el error consiste en haber medido el ángulo desde la superficie en lugar de desde la normal.

$\text{Rayo 4 }({46}^{\circ })\text{: sen}{\theta }_r=\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,719}=\mathrm{0,957}\Rightarrow {\theta }_r={\mathrm{73,1}}^{\circ }$

La tabla decía «No hay haz», y es incorrecto: ${46}^{\circ }$ todavía es menor que el ángulo límite de ${\mathrm{48,8}}^{\circ }$, así que sí existe rayo refractado, aunque muy rasante.

$\text{Rayo 5 }({52}^{\circ })\text{: sen}{\theta }_r=\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,788}=\mathrm{1,05}>1$

La tabla daba ${120}^{\circ }$, que es imposible por partida doble: ningún ángulo de refracción puede superar los ${90}^{\circ }$, y además ${52}^{\circ }$ ya está por encima del ángulo límite. No hay haz refractado: se produce reflexión total.

$\text{Rayo 6 }({60}^{\circ })\text{: sen}{\theta }_r=\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{1,15}>1$

La casilla estaba vacía y le corresponde la misma respuesta: no hay haz refractado, por reflexión total.

La tabla corregida queda así:

Rayo	1	2	3	4	5	6 ${\theta }_{\text{incidente}}\text{ (grados)}$	36	40	45	46	52	60 ${\theta }_{\text{refractado}}\text{ (grados)}$	51,4	58,7	70,2	73,1	No hay haz	No hay haz

Este fenómeno es el que explica que, mirando desde debajo del agua, todo el exterior se vea concentrado en un cono de unos ${49}^{\circ }$ alrededor de la vertical, y que fuera de él la superficie actúe como un espejo.