Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

El isótopo ${}^{14}\text{C}$ es radiactivo y se produce en la atmósfera como resultado del bombardeo de la radiación cósmica del espacio. Los seres vivos asimilan este carbono y muestran una actividad de $600\text{ Bq}$ por gramo de carbono. Cuando mueren dejan de absorber carbono y el que tienen se desintegra con un periodo de semidesintegración de $5500$ años. El carbono tomado de una madera de una tumba egipcia muestra $\mathrm{457,2}\text{ Bq}$ por gramo de carbono. ¿Qué edad tiene la tumba?

La datación por carbono-14 se apoya en que los seres vivos intercambian carbono con el medio mientras están vivos, de modo que su actividad se mantiene en el valor atmosférico. Al morir dejan de renovarlo y el ${}^{14}\text{C}$ que contienen empieza a desintegrarse siguiendo la ley exponencial:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{5500}}=\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

La actividad inicial de la madera era la de un ser vivo, y la actual es la medida:

$A_0=600\text{ Bq}A=\mathrm{457,2}\text{ Bq}$

Se despeja el tiempo transcurrido tomando logaritmos:

${\displaystyle \frac{A}{A_0}}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}=\lambda t$

$t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}={\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{600}{\mathrm{457,2}}}\right)}{\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-4}}}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{0,272}}{\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-4}}}=\mathrm{2,16}\cdot {10}^3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

La tumba tiene unos $2160$ años. El resultado es coherente con el dato: la actividad ha bajado bastante menos de la mitad, y por tanto el tiempo transcurrido tiene que ser bastante menor que un periodo de semidesintegración.