Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

En la gráfica adjunta se presenta la evolución temporal de la actividad de una muestra de yodo-131 (${}^{131}\text{I}$). Halle la constante de desintegración radiactiva y la actividad a los 50 días.

La actividad de una muestra radiactiva decae exponencialmente con el tiempo, siguiendo la misma ley que el número de núcleos sin desintegrar:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

La constante de desintegración se relaciona con el periodo de semidesintegración, que es el tiempo que tarda la actividad en reducirse a la mitad:

${\displaystyle \frac{A_0}{2}}=A_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

De la gráfica se lee la actividad inicial y el momento en que se reduce a la mitad:

$A_0=6\text{ MBq}$

$A=3\text{ MBq para }t=8\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}=8\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La lectura se confirma con el resto de la curva: a los $16$ días la actividad vale $\mathrm{1,5}\text{ MBq}$, otra vez la mitad.

Por tanto:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{8}}=\mathrm{8,66}\cdot {10}^{-2}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

Expresada en unidades del Sistema Internacional:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{8,66}\cdot {10}^{-2}}{86400}}=\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}{\text{s}}^{-1}$

Para la actividad a los $50$ días se sustituye en la ley de desintegración, con el tiempo en las mismas unidades que la constante:

$A=6e^{-\mathrm{8,66}\cdot {10}^{-2}\cdot 50}=6e^{-\mathrm{4,33}}$

$A=\mathrm{7,88}\cdot {10}^{-2}\text{ MBq}=\mathrm{7,88}\cdot {10}^4\text{ Bq}$

A los $50$ días quedan unos $79\text{ kBq}$, poco más del $1\mathrm{\%}$ de la actividad inicial. El resultado es coherente: $50$ días son algo más de seis periodos de semidesintegración, y $2^{-\mathrm{6,25}}$ vale aproximadamente $\mathrm{0,013}$.