Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

El número total de premios Goya recibidos a lo largo de su carrera por tres mujeres (Isabel, Carmen y Enma) es de 15 Goyas. Si aumentamos en un premio la cantidad que ha recibido Isabel obtenemos el triple de los premios ganados por Enma y los que recibe Enma equivalen a las tres cuartas partes de los que recibe Carmen.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos premios Goya han recibido cada una. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{averiguar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{premios}}\mathbf{\text{Goya}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{recibido}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ a los premios de Isabel, $y$ a los de Carmen y $z$ a los de Enma.

Entre las tres suman 15 premios:

$x+y+z=15$

Si se aumenta en uno la cantidad de Isabel se obtiene el triple de los de Enma:

$x+1=3z$

Y los de Enma son las tres cuartas partes de los de Carmen:

$z={\displaystyle \frac{3}{4}}y$

El sistema pedido es:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=15\\ x+1=3z\\ z={\displaystyle \frac{3}{4}}y\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{planteado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De la segunda y la tercera ecuación despejamos $x$ e $y$ en función de $z$:

$x=3z-1,y={\displaystyle \frac{4z}{3}}$

Sustituimos en la primera ecuación:

$3z-1+{\displaystyle \frac{4z}{3}}+z=15$

Multiplicamos por 3 para quitar el denominador:

$9z-3+4z+3z=45\Rightarrow 16z=48\Rightarrow z=3$

$x=3\cdot 3-1=8,y={\displaystyle \frac{4\cdot 3}{3}}=4$

Comprobamos que $8+4+3=15$ y que $8+1=9$ es el triple de 3.

Isabel ha recibido 8 premios Goya, Carmen 4 y Enma 3.