Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un concesionario de automóviles tiene en oferta tres modelos de coche: uno deportivo, otro familiar y el tercero es un monovolumen. El mes pasado se vendieron 10 deportivos, 6 familiares y 3 monovolúmenes y se obtuvieron 851000 euros. El coche deportivo vale 2000 euros más que el familiar. Por 5 deportivos vendidos se obtienen 13000 euros más que si se venden 6 monovolúmenes.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el precio de cada uno de los tres modelos. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{averiguar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{modelos.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al precio en euros del deportivo, $y$ al del familiar y $z$ al del monovolumen.

El mes pasado se vendieron 10 deportivos, 6 familiares y 3 monovolúmenes por 851000 euros:

$10x+6y+3z=851000$

El deportivo vale 2000 euros más que el familiar:

$x=y+2000$

Y por 5 deportivos se obtienen 13000 euros más que por 6 monovolúmenes:

$5x=6z+13000$

El sistema pedido es:

$\{\begin{array}{l}10x+6y+3z=851000\\ x=y+2000\\ 5x=6z+13000\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{planteado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De la segunda y la tercera ecuación despejamos $y$ y $z$ en función de $x$:

$y=x-2000,z={\displaystyle \frac{5x-13000}{6}}$

Sustituimos en la primera ecuación:

$10x+6(x-2000)+3\cdot {\displaystyle \frac{5x-13000}{6}}=851000$

Multiplicamos por 2 para quitar el denominador y agrupamos:

$20x+12x-24000+5x-13000=1702000$

$37x=1739000\Rightarrow x=47000$

$y=47000-2000=45000,z={\displaystyle \frac{235000-13000}{6}}=37000$

Comprobamos que $470000+270000+111000=851000$ euros.

El deportivo cuesta 47000 €, el familiar 45000 € y el monovolumen 37000 €.