Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un examen final de historia al que se presentan 120 alumnos se deja elegir entre 3 opciones (A, B o C). El número de personas que elige la opción A es el triple de número que resulta al sumar las opciones B y C. Hay el doble de personas que realizan la opción C que las que escogen B.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos alumnos eligen cada opción. (1 punto)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{averiguar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{eligen}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $x$ al número de alumnos que eligen la opción A, $y$ a los que eligen la B y $z$ a los que eligen la C.

Se presentan 120 alumnos:

$x+y+z=120$

Los de la opción A son el triple de la suma de los de B y C:

$x=3(y+z)$

Y hay el doble de alumnos en C que en B:

$z=2y$

El sistema pedido es:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=120\\ x=3(y+z)\\ z=2y\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{planteado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Sustituimos la segunda ecuación en la primera, agrupando $y+z$:

$3(y+z)+(y+z)=120\Rightarrow 4(y+z)=120\Rightarrow y+z=30$

Con ello ya tenemos la opción A:

$x=3\cdot 30=90$

Y sustituyendo $z=2y$ en $y+z=30$:

$y+2y=30\Rightarrow 3y=30\Rightarrow y=10\Rightarrow z=20$

Comprobamos que $90+10+20=120$ alumnos.

Eligen la opción A 90 alumnos, la opción B 10 y la opción C 20.