Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un concesionario de motos disponen de 100 motos dispuestas para su venta. Las motos son de tres tipos: las que consumen gasolina únicamente, las que usan gasolina y aceite y las eléctricas. Las más numerosas son las que usan gasolina y aceite, y la diferencia entre la cantidad de estas y las de gasolina es igual a la mitad del número de eléctricas. La diferencia entre las de gasolina y las eléctricas es igual a la tercera parte de las que utilizan gasolina y aceite.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas motos hay de cada tipo. (1,5 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{averiguar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{motos}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ a las motos que consumen solo gasolina, $y$ a las que usan gasolina y aceite y $z$ a las eléctricas.

En el concesionario hay 100 motos:

$x+y+z=100$

La diferencia entre las de gasolina y aceite y las de gasolina es la mitad de las eléctricas:

$y-x={\displaystyle \frac{z}{2}}$

Y la diferencia entre las de gasolina y las eléctricas es la tercera parte de las de gasolina y aceite:

$x-z={\displaystyle \frac{y}{3}}$

El sistema pedido es:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ y-x={\displaystyle \frac{z}{2}}\\ x-z={\displaystyle \frac{y}{3}}\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{planteado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Quitamos los denominadores de las dos últimas ecuaciones:

$2y-2x=z,3x-3z=y$

Sustituimos la primera en la segunda para dejar todo en función de $y$ y $x$:

$3x-3(2y-2x)=y\Rightarrow 3x-6y+6x=y\Rightarrow 9x=7y\Rightarrow x={\displaystyle \frac{7y}{9}}$

$z=2y-2\cdot {\displaystyle \frac{7y}{9}}={\displaystyle \frac{18y-14y}{9}}={\displaystyle \frac{4y}{9}}$

Llevamos las dos expresiones a la primera ecuación:

${\displaystyle \frac{7y}{9}}+y+{\displaystyle \frac{4y}{9}}=100\Rightarrow 7y+9y+4y=900\Rightarrow 20y=900\Rightarrow y=45$

$x={\displaystyle \frac{7\cdot 45}{9}}=35,z={\displaystyle \frac{4\cdot 45}{9}}=20$

Comprobamos que $35+45+20=100$ motos, que las de gasolina y aceite son las más numerosas y que $45-35=10$ es la mitad de 20.

Hay 35 motos de gasolina, 45 de gasolina y aceite y 20 eléctricas.