Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2020

a) El ${}_{82}^{214}\text{Pb}$ emite una partícula alfa y se transforma en mercurio (Hg) que, a su vez, emite una partícula beta y se transforma en talio (Tl). Escriba, razonadamente, las reacciones de desintegración descritas. [1 punto]

b) Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva que contiene $6\cdot {10}^{21}$ átomos de un isótopo de Co, cuyo periodo de semidesintegración es de 77,27 días. Calcule: i) la constante de desintegración radiactiva del isótopo de Co; ii) la actividad inicial de la muestra; iii) el número de átomos que se han desintegrado al cabo de 180 días. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">82</mn><mn\; mathvariant="bold">214</mn></msubsup><mtext>Pb</mtext></mrow>}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{alfa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{transforma}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{mercurio}}\mathbf{\text{(Hg)}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{vez,}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{beta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{transforma}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{talio}}\mathbf{\text{(Tl).}}\mathbf{\text{Escriba,}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{reacciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{descritas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En toda desintegración nuclear se conservan el número másico y el número atómico. Con eso basta para completar las dos reacciones.

Una partícula alfa es un núcleo de helio, ${}_2^4\text{He}$, de modo que en una emisión alfa el número másico disminuye en cuatro unidades y el número atómico en dos:

${}_{82}^{214}\text{Pb}⟶{}_Z^A\text{Hg}{+}_2^4\text{He}$

$A=214-4=210Z=82-2=80$

${}_{82}^{214}\text{Pb}⟶{}_{80}^{210}\text{Hg}{+}_2^4\text{He}$

El número atómico 80 corresponde efectivamente al mercurio, como decía el enunciado.

Una partícula beta es un electrón, ${}_{-1}^{0}e$, que procede de la conversión de un neutrón en un protón dentro del núcleo. En una emisión beta el número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad:

${}_{80}^{210}\text{Hg}⟶{}_Z^A\text{Tl}{+}_{-1}^{0}e$

$A=210Z=80+1=81$

${}_{80}^{210}\text{Hg}⟶{}_{81}^{210}\text{Tl}{+}_{-1}^{0}e$

De nuevo el número atómico 81 corresponde al talio. Encadenando las dos reacciones, el proceso global es:

${}_{82}^{214}\text{Pb}⟶{}_{81}^{210}\text{Tl}{+}_2^4\text{He}{+}_{-1}^{0}e$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">6</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">21</mn></msup></mrow>}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Co,}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{77,27}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{Calcule:}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Co;}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra;}}\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{desintegrado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{180}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

i) La constante de desintegración se relaciona con el periodo de semidesintegración imponiendo que en ese tiempo quede la mitad de los núcleos:

$N=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}=\frac{N_0}{2}\Rightarrow \lambda =\frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}$

Conviene expresar el periodo en unidades del Sistema Internacional, porque la actividad se mide en desintegraciones por segundo:

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{77,27}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot \frac{86400\text{ s}}{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}=\mathrm{6,676}\cdot {10}^6\text{ s}$

$\lambda =\frac{\ln 2}{\mathrm{6,676}\cdot {10}^6}=\mathrm{1,04}\cdot {10}^{-7}{\text{s}}^{-1}$

ii) La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A_0=\lambda N_0=\mathrm{1,04}\cdot {10}^{-7}\cdot 6\cdot {10}^{21}$

$A_0=\mathrm{6,23}\cdot {10}^{14}\text{ Bq}$

iii) Se aplica la ley de desintegración radiactiva. Es más cómodo trabajar en días, usando la constante equivalente:

$\lambda =\frac{\ln 2}{\mathrm{77,27}}=\mathrm{8,97}\cdot {10}^{-3}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

$N=N_0{e}^{-\lambda t}=6\cdot {10}^{21}{e}^{-\mathrm{8,97}\cdot {10}^{-3}\cdot 180}$

$N=6\cdot {10}^{21}\cdot \mathrm{0,199}=\mathrm{1,19}\cdot {10}^{21}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

Ese es el número de átomos que quedan sin desintegrar. Los que se han desintegrado son la diferencia:

$N_{\text{desintegrados}}=N_0-N=6\cdot {10}^{21}-\mathrm{1,19}\cdot {10}^{21}$

$N_{\text{desintegrados}}=\mathrm{4,81}\cdot {10}^{21}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

Al cabo de 180 días se ha desintegrado el 80 % de la muestra. Es lo esperable: 180 días son algo más de dos periodos de semidesintegración, y tras dos periodos queda la cuarta parte, es decir, un 25 %.