Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2020

a) ¿Qué significa que una onda armónica viajera tenga doble periodicidad? Realice las gráficas necesarias para representar ambas periodicidades. [1 punto]

b) Una onda viajera viene dada por la ecuación $y(x,t)=20\cos (10t-50x)$ (S. I.). Calcule: i) su velocidad de propagación; ii) la ecuación de la velocidad de oscilación y su valor máximo; iii) la ecuación de la aceleración y su valor máximo. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{significa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{viajera}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{periodicidad?}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{necesarias}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{periodicidades.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que una onda armónica viajera tiene doble periodicidad significa que su ecuación se repite tanto al avanzar en el espacio como al avanzar en el tiempo. La función de onda depende de dos variables:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx)$

y es periódica en cada una de ellas por separado.
















La periodicidad espacial se aprecia fijando un instante y observando el medio entero, que es lo que representa la primera gráfica. El perfil de la onda se repite cada longitud de onda:

$y(x+\lambda ,t)=y(x,t)\lambda =\frac{2\pi }{k}$

La longitud de onda es, por tanto, la distancia mínima entre dos puntos que en un mismo instante se encuentran en idéntico estado de vibración.

La periodicidad temporal se aprecia fijando un punto del medio y observando cómo oscila, que es lo que representa la segunda gráfica. Su movimiento se repite cada periodo:

$y(x,t+T)=y(x,t)T=\frac{2\pi }{\omega }$

El periodo es el tiempo mínimo que tarda un punto en repetir su estado de vibración.

Las dos periodicidades están ligadas por la velocidad de propagación, que es la distancia que avanza la onda en un periodo:

$v=\frac{\lambda }{T}$



Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica para identificar sus parámetros:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx)$

$A=20\text{ m}\omega =10\text{ rad/s}k=50\text{ rad/m}$

i) La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\frac{\omega }{k}=\frac{10}{50}=\mathrm{0,2}\text{ m/s}$

Como los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos, la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$.

ii) La velocidad de oscilación de un punto del medio es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}=-A\omega \mathrm{sen}(\omega t-kx)$

$v_y=-200\mathrm{sen}(10t-50x)\text{ m/s}$

Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale la unidad:

$v_{y,\max }=A\omega =20\cdot 10=200\text{ m/s}$

iii) La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

$a_y=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}=-A{\omega }^2\cos (\omega t-kx)$

$a_y=-2000\cos (10t-50x){\text{m/s}}^2$

Y su valor máximo:

$a_{y,\max }=A{\omega }^2=20\cdot {10}^2=2000{\text{m/s}}^2$

Conviene reparar en la diferencia entre las dos velocidades que aparecen en el problema: la onda avanza a solo 0,2 m/s, mientras que cada punto del medio llega a moverse a 200 m/s en su oscilación transversal. Son magnitudes independientes: la primera depende del medio y la segunda, de la amplitud y la frecuencia.