Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2021

a) Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) La masa de un núcleo es siempre menor que la suma de las masas de los protones y neutrones que lo forman. ii) En una emisión alfa el número másico decrece en dos unidades y el número atómico en una. [1 punto]

b) En la bomba de hidrógeno (o bomba de fusión) intervienen dos núcleos, uno de deuterio (${}_1^2\text{H}$) y otro de tritio (${}_1^3\text{H}$) que dan lugar a uno de helio (${}_2^4\text{He}$). i) Escriba la reacción nuclear correspondiente. ii) Obtenga la energía liberada en el proceso por cada átomo de helio obtenido. [1,5 puntos]

Datos: $m{(}_2^4\text{He})=\mathrm{4,002603}\text{ u}$; $m{(}_1^2\text{H})=\mathrm{2,014102}\text{ u}$; $m{(}_1^3\text{H})=\mathrm{3,016049}\text{ u}$; $m_n=\mathrm{1,008665}\text{ u}$; $1\text{ u}=\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m}{\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{veracidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{afirmaciones:}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{masas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{protones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{neutrones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{forman.}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alfa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{decrece}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

i) La afirmación es verdadera, y es un hecho experimental de enorme importancia. Al formarse un núcleo a partir de sus nucleones se libera energía, la energía de enlace, y por la equivalencia entre masa y energía de Einstein esa energía lleva asociada una masa que el núcleo pierde:

$\mathrm{\Delta }m=Z{m}_p+(A-Z)m_n-m_{\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleo}}>0$

$E_e=\mathrm{\Delta }m{c}^2$

Esa diferencia positiva es el defecto de masa. Si no existiera, el núcleo no estaría ligado y se desharía espontáneamente en sus componentes.

ii) La afirmación es falsa. La partícula alfa es un núcleo de helio, ${}_2^4\text{He}$, con 2 protones y 2 neutrones. Aplicando las leyes de conservación del número másico y del número atómico a una emisión alfa:

${}_Z^A\text{X}⟶{}_{Z-2}^{A-4}\text{Y}{+}_2^4\text{He}$

El número másico decrece en cuatro unidades y el número atómico en dos, no en dos y una como afirma el enunciado. La emisión que sí cambia el número atómico en una unidad es la beta, y en ese caso el número másico no cambia.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bomba}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hidr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{bomba}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fusi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n)}}\mathbf{\text{intervienen}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos,}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{deuterio}}\mathbf{\text{(}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msubsup><mtext>H</mtext></mrow>}\mathbf{\text{)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tritio}}\mathbf{\text{(}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msubsup><mtext>H</mtext></mrow>}\mathbf{\text{)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dan}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{helio}}\mathbf{\text{(}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">4</mn></msubsup><mtext>He</mtext></mrow>}\mathbf{\text{).}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{nuclear}}\mathbf{\text{correspondiente.}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{liberada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{proceso}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{helio}}\mathbf{\text{obtenido.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

i) Se plantea la reacción y se completa aplicando las leyes de conservación. Del número másico:

$2+3=4+A\Rightarrow A=1$

Y del número atómico:

$1+1=2+Z\Rightarrow Z=0$

La partícula que falta tiene número másico 1 y número atómico 0, es decir, es un neutrón. La reacción es:

${}_1^2\text{H}{+}_1^3\text{H}⟶{}_2^4\text{He}{+}_0^{1}n$

ii) La energía liberada procede del defecto de masa de la reacción. Se calcula la diferencia entre la masa de los reactivos y la de los productos:

$\mathrm{\Delta }m=(m_{{}^2\text{H}}+m_{{}^3\text{H}})-(m_{{}^4\text{He}}+m_n)$

$\mathrm{\Delta }m=(\mathrm{2,014102}+\mathrm{3,016049})-(\mathrm{4,002603}+\mathrm{1,008665})$

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{5,030151}-\mathrm{5,011268}=\mathrm{0,018883}\text{ u}$

Se pasa a kilogramos y se aplica la equivalencia masa-energía:

$E=\mathrm{\Delta }m{c}^2=\mathrm{0,018883}\cdot \mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}\cdot (3\cdot {10}^8{)}^2$

$E=\mathrm{2,82}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$

Por cada núcleo de helio formado se liberan $\mathrm{2,82}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$, unos 17,6 MeV. Es una energía bastante mayor que la que libera la fisión de un núcleo de uranio por nucleón, y esa es la razón de que la fusión sea, a igualdad de masa de combustible, mucho más energética que la fisión.