Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Sean la función $F(x,y)=5x-3y$ y la región del plano $R$ definida mediante las inecuaciones

$2x-3y\le 1;4x+y\le 9;x+y\le 5;9x-y\ge 0;y\ge 0$

a) Dibuje la región $R$ y calcule sus vértices. (1,3 puntos)

b) Indique razonadamente si los puntos $A(2,2)$ y $B(1;\mathrm{3,5})$ pertenecen a la región $R$. (0,5 puntos)

c) Obtenga los puntos de la región $R$ donde $F$ alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores. (0,7 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{R}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(1,3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Cada inecuación define un semiplano. Para saber cuál es, se dibuja la recta que resulta de sustituir la desigualdad por una igualdad y se prueba con un punto; aquí sirve el origen, que cumple las cinco inecuaciones. La región $R$ es la intersección de los cinco semiplanos, que aparece coloreada en el dibujo.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $V_1$: $\{\begin{array}{l}9x-y=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow V_1(0,0)$

Vértice $V_2$: $\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ y=0\end{array}\Rightarrow 2x=1\Rightarrow V_2({\displaystyle \frac{1}{2}},0)$

Vértice $V_3$: $\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ 4x+y=9\end{array}$. De la segunda, $y=9-4x$; sustituyendo en la primera:

$2x-3(9-4x)=1\Rightarrow 14x=28\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\Rightarrow V_3(2,1)$

Vértice $V_4$: $\{\begin{array}{l}4x+y=9\\ x+y=5\end{array}$. Restando las dos ecuaciones:

$3x=4\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow y=5-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{11}{3}}\Rightarrow V_4({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{11}{3}})$

Vértice $V_5$: $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 9x-y=0\end{array}$. Sumando las dos ecuaciones:

$10x=5\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{9}{2}}\Rightarrow V_5({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{9}{2}})$



Un punto pertenece a la región si cumple las cinco inecuaciones a la vez. Basta con que falle una para que quede fuera.

Para $A(2,2)$:

$\{\begin{array}{ll}2\cdot 2-3\cdot 2=-2\le 1& \text{cumple}\\ 4\cdot 2+2=10\le 9& \text{no cumple}\end{array}$

El punto $A(2,2)$ no pertenece a la región $R$, porque incumple la inecuación $4x+y\le 9$.

Para $B(1;\mathrm{3,5})$:

$\{\begin{array}{ll}2\cdot 1-3\cdot \mathrm{3,5}=-\mathrm{8,5}\le 1& \text{cumple}\\ 4\cdot 1+\mathrm{3,5}=\mathrm{7,5}\le 9& \text{cumple}\\ 1+\mathrm{3,5}=\mathrm{4,5}\le 5& \text{cumple}\\ 9\cdot 1-\mathrm{3,5}=\mathrm{5,5}\ge 0& \text{cumple}\\ \mathrm{3,5}\ge 0& \text{cumple}\end{array}$

El punto $B(1;\mathrm{3,5})$ sí pertenece a la región $R$, porque cumple las cinco inecuaciones.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{R}\mathbf{\text{donde}}\mathit{F}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{correspondientes}}\mathbf{\text{valores.}}\mathbf{\text{(0,7}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Como la región es un polígono cerrado y acotado y la función objetivo es lineal, sus valores extremos se alcanzan en los vértices. Valoramos $F(x,y)=5x-3y$ en cada uno de ellos.

$F(0,0)=0$

$F({\displaystyle \frac{1}{2}},0)={\displaystyle \frac{5}{2}}=\mathrm{2,5}$

$F(2,1)=10-3=7$

$F({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{11}{3}})={\displaystyle \frac{20}{3}}-11=-{\displaystyle \frac{13}{3}}\approx -\mathrm{4,33}$

$F({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{9}{2}})={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{27}{2}}=-11$

La función $F$ alcanza el máximo en el vértice $V_3(2,1)$, donde vale $7$, y el mínimo en el vértice $V_5({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{9}{2}})$, donde vale $-11$.