Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una pastelería decide preparar dos tipos de cajas de pastelitos para regalar a los clientes en su inauguración. En total dispone de 120 piononos y 150 pestiños. En la caja del primer tipo habrá 3 piononos y 2 pestiños y en la del segundo tipo 4 piononos y 6 pestiños. Deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo.

Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán. (2,5 puntos)

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{regalos}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{piononos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{pesti}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{utilizar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de cajas del primer tipo e $y$ al número de cajas del segundo tipo. Hacemos una tabla para ordenar la información del enunciado.

$$	$\text{Piononos}$	$\text{Pesti}\tilde{\text{n}}\text{os}$
Cajas tipo 1 $(x)$	$3x$	$2x$
Cajas tipo 2 $(y)$	$4y$	$6y$
Disponible	120	150

La función objetivo que deseamos maximizar es el número total de cajas, que es el número de regalos:

$N(x,y)=x+y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 120 piononos $\Rightarrow$ $3x+4y\le 120$.

Se dispone de 150 pestiños $\Rightarrow$ $2x+6y\le 150$.

Se preparan al menos 9 cajas del segundo tipo $\Rightarrow$ $y\ge 9$.

El número de cajas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$.

Reunimos las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}3x+4y\le 120\\ 2x+6y\le 150\\ y\ge 9\\ x\ge 0\end{array}$

Representamos la región factible tomando, para cada recta, el semiplano que contiene al punto $(0,9)$, que cumple las cuatro inecuaciones. La región factible es la zona coloreada.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=9\end{array}\Rightarrow A(0,9)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}3x+4y=120\\ y=9\end{array}\Rightarrow 3x=120-36=84\Rightarrow x=28\Rightarrow B(28,9)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}3x+4y=120\\ 2x+6y=150\end{array}$. Multiplicamos la primera por $2$ y la segunda por $-3$ y sumamos:

$\{\begin{array}{l}6x+8y=240\\ -6x-18y=-450\end{array}\Rightarrow -10y=-210\Rightarrow y=21$

$3x+84=120\Rightarrow x=12\Rightarrow C(12,21)$

Vértice $D$: $\{\begin{array}{l}x=0\\ 2x+6y=150\end{array}\Rightarrow 6y=150\Rightarrow y=25\Rightarrow D(0,25)$

Valoramos la función objetivo en cada uno de los vértices:

$N(0,9)=9$

$N(28,9)=37$

$N(12,21)=33$

$N(0,25)=25$

El número máximo de regalos se alcanza en el vértice $B(28,9)$.

La pastelería debe preparar 28 cajas del primer tipo y 9 del segundo, con lo que hace 37 regalos. En ellas se utilizan

$3\cdot 28+4\cdot 9=84+36=120\text{ piononos}2\cdot 28+6\cdot 9=56+54=110\text{ pesti}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Se gastan los 120 piononos y 110 de los 150 pestiños, así que sobran 40 pestiños.