Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

a) Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigoríficos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigoríficos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1200 y 1500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigoríficos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos. (1 punto)

b) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:

$x+2y\ge 74x-y\ge 12x-y\le 43x+2y\le 20x\ge 0y\ge 0$

Obtenga el valor mínimo de la función $F(x,y)=2x+y$ en el recinto anterior, así como el punto en el que se alcanza. (1,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{electrodom}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sticos}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cadenas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{montaje.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cadena}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{frigor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ficos,}}\mathbf{\text{mientras}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cadena}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{frigor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ficos.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cadenas}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1200}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1500}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{cadena}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{funcionar,}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cadena}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{280}}\mathbf{\text{frigor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ficos,}}\mathbf{\text{formule,}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{resolver,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{funcionamiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cadenas}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{electrodom}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sticos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $x$ al número de horas que funciona la cadena $A$ e $y$ al número de horas que funciona la cadena $B$. Ordenamos la información en una tabla.

$$	$\text{Lavadoras}$	$\text{Frigor}\acute{\text{ı}}\text{ficos}$	$\text{Coste (€)}$
Cadena A $(x)$	$10x$	$5x$	$1200x$
Cadena B $(y)$	$7y$	$6y$	$1500y$
Exigido	$\ge 400$	$\ge 280$	$$

La función objetivo que hay que minimizar es el coste de producción:

$C(x,y)=1200x+1500y$

Las restricciones son:

Se producen como mínimo 400 lavadoras $\Rightarrow$ $10x+7y\ge 400$.

Se producen como mínimo 280 frigoríficos $\Rightarrow$ $5x+6y\ge 280$.

La cadena $A$ funciona como máximo el doble de horas que la $B$ $\Rightarrow$ $x\le 2y$.

El número de horas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

El problema queda formulado así:

$\text{Minimizar }C(x,y)=1200x+1500y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}10x+7y\ge 400\\ 5x+6y\ge 280\\ x-2y\le 0\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{definido}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{inecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices:}}$





Cada inecuación define un semiplano. Dibujamos las rectas y elegimos, en cada caso, el semiplano correcto probando con un punto interior; aquí sirve $(3,4)$, que cumple todas. El recinto es la zona coloreada.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}x+2y=7\\ 4x-y=1\end{array}$. De la segunda, $y=4x-1$; sustituyendo:

$x+2(4x-1)=7\Rightarrow 9x=9\Rightarrow x=1\Rightarrow y=3\Rightarrow A(1,3)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}x+2y=7\\ 2x-y=4\end{array}$. De la segunda, $y=2x-4$; sustituyendo:

$x+2(2x-4)=7\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3\Rightarrow y=2\Rightarrow B(3,2)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}2x-y=4\\ 3x+2y=20\end{array}$. Multiplicamos la primera por $2$ y sumamos:

$4x-2y=8\Rightarrow 7x=28\Rightarrow x=4\Rightarrow y=4\Rightarrow C(4,4)$

Vértice $D$: $\{\begin{array}{l}4x-y=1\\ 3x+2y=20\end{array}$. De la primera, $y=4x-1$; sustituyendo:

$3x+2(4x-1)=20\Rightarrow 11x=22\Rightarrow x=2\Rightarrow y=7\Rightarrow D(2,7)$

Valoramos la función objetivo en cada vértice en busca del mínimo.

$F(1,3)=2+3=5$

$F(3,2)=6+2=8$

$F(4,4)=8+4=12$

$F(2,7)=4+7=11$

El valor mínimo de $F$ es $5$ y se alcanza en el vértice $A(1,3)$.