Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Se consideran las siguientes inecuaciones:

$5x-4y\le -193x-4y\le -13x\ge -7-x-y\ge 2$

a) Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices. (1,5 puntos)

b) ¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función $G(x,y)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}y$ en la citada región factible? ¿Cuál es su valor? (0,5 puntos)

c) Responda de forma razonada si la función $G(x,y)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}y$ puede alcanzar el valor ${\displaystyle \frac{47}{3}}$ en la región factible hallada. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{definida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{inecuaciones}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Cada inecuación define un semiplano. Dibujamos las cuatro rectas y elegimos, en cada caso, el semiplano correcto probando con un punto; aquí sirve $(-5,1)$, que cumple las cuatro inecuaciones. La región factible es la zona coloreada.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}x=-7\\ 3x-4y=-13\end{array}\Rightarrow -21-4y=-13\Rightarrow -4y=8\Rightarrow y=-2\Rightarrow A(-7,-2)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}5x-4y=-19\\ 3x-4y=-13\end{array}$. Restando la segunda ecuación de la primera:

$2x=-6\Rightarrow x=-3\Rightarrow -9-4y=-13\Rightarrow y=1\Rightarrow B(-3,1)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}x=-7\\ -x-y=2\end{array}\Rightarrow 7-y=2\Rightarrow y=5\Rightarrow C(-7,5)$

La región factible es el triángulo de vértices $A(-7,-2)$, $B(-3,1)$ y $C(-7,5)$. Obsérvese que dentro de la región la restricción $5x-4y\le -19$ queda por debajo de $3x-4y\le -13$ y no llega a delimitarla: las dos rectas solo se tocan en el vértice $B$.



Como la región es un polígono cerrado y acotado y la función objetivo es lineal, los valores extremos se alcanzan en los vértices. Valoramos $G$ en cada uno de ellos.

$G(-7,-2)={\displaystyle \frac{7}{5}}-5=-{\displaystyle \frac{18}{5}}=-\mathrm{3,6}$

$G(-3,1)={\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{31}{10}}=\mathrm{3,1}$

$G(-7,5)={\displaystyle \frac{7}{5}}+{\displaystyle \frac{25}{2}}={\displaystyle \frac{139}{10}}=\mathrm{13,9}$

El mínimo vale $-\mathrm{3,6}$ y se alcanza en el vértice $A(-7,-2)$; el máximo vale $\mathrm{13,9}$ y se alcanza en el vértice $C(-7,5)$.



Comparamos el valor propuesto con el máximo obtenido en el apartado anterior.

${\displaystyle \frac{47}{3}}=\mathrm{15,}\bar{6}{\displaystyle \frac{139}{10}}=\mathrm{13,9}$

${\displaystyle \frac{47}{3}}>{\displaystyle \frac{139}{10}}$

Como ${\displaystyle \frac{47}{3}}$ es mayor que el valor máximo que $G$ alcanza en la región factible, la función no puede tomar ese valor en ningún punto del recinto: la recta $-{\displaystyle \frac{1}{5}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}y={\displaystyle \frac{47}{3}}$ queda por completo fuera del triángulo.