Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

Un haz de luz incide sobre un metal, cuya frecuencia umbral para el efecto fotoeléctrico es de $4\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$. Determine:

a) La energía mínima necesaria para arrancar un electrón de dicho metal. [1 punto]

b) La energía cinética de los electrones producidos cuando se ilumina el metal con fotones de longitud de onda igual a $6\cdot {10}^{-7}\text{ m}$. [1 punto]

Datos: Velocidad de la luz $(c)=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; Constante de Planck $(h)=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{arrancar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{metal.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La energía mínima necesaria para arrancar un electrón del metal es el trabajo de extracción, y por definición es la energía de un fotón cuya frecuencia sea la frecuencia umbral:

$W_0=h{f}_0$





Se sustituyen los datos:

$W_0=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\cdot 4\cdot {10}^{14}$

$W_0=\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Y expresado en electronvoltios:

$W_0={\displaystyle \frac{\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{1,65}\text{ eV}$

El trabajo de extracción del metal es $\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, es decir, $\mathrm{1,65}\text{ eV}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{producidos}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ilumina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{metal}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">6</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">7</mn></mrow></msup><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se calcula primero la frecuencia de esos fotones:

$f={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{6\cdot {10}^{-7}}}=5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Como es mayor que la frecuencia umbral, $4\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$, sí habrá emisión de electrones.

La energía de cada fotón incidente es:

$E=hf=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\cdot 5\cdot {10}^{14}=\mathrm{3,3}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Y por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, esa energía se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón emitido:

$E=W_0+E_{c,\max }\Rightarrow E_{c,\max }=E-W_0$

$E_{c,\max }=\mathrm{3,3}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

En electronvoltios:

$E_{c,\max }={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-20}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{0,41}\text{ eV}$

Los electrones salen con una energía cinética máxima de $\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$, esto es, $\mathrm{0,41}\text{ eV}$. Aumentar la intensidad de la luz haría salir más electrones, pero no aumentaría esta energía: solo depende de la frecuencia, que es la observación que el modelo clásico no podía explicar.