Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Los hilos rectilíneos e infinitos de la figura están separados una distancia $a=50\text{ cm}$ y recorridos por sendas corrientes estacionarias iguales, $I=2\text{ mA}$, como se muestra.

a) Calcula el campo magnético (con carácter vectorial) en el punto $P$ de la figura, situado en el plano formado por ambos hilos, siendo $b=20\text{ cm}$. Expresa el resultado en tesla (T). Valor de la permeabilidad magnética del vacío: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\text{ H/m}$. [1,5 puntos]

b) ¿Hay algún punto del eje $X$ en el que se anule el campo magnético debido a esas corrientes? Razona la respuesta. [0,25 puntos]

c) Si la corriente de uno de los hilos cambiara de sentido, manteniendo su valor, ¿se anularía el campo magnético en algún punto del eje $X$? Razona la respuesta. [0,25 puntos]

Las dos corrientes circulan hacia arriba, en el sentido positivo del eje $Y$, y el punto $P$ está a la derecha de ambas. Por la regla de la mano derecha, los dos campos entran en el plano del papel:

${\vec{B}}_1=-B_1\vec{k}{\vec{B}}_2=-B_2\vec{k}$

Al tener el mismo sentido, sus módulos se suman.





El módulo del campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ es, por la ley de Biot y Savart:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$

Se expresan las distancias en unidades del Sistema Internacional. El hilo de la izquierda está a:

$r_1=a+b=50+20=70\text{ cm}=\mathrm{0,70}\text{ m}$

$B_1={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 2\cdot {10}^{-3}}{2\pi \cdot \mathrm{0,70}}}=\mathrm{5,71}\cdot {10}^{-10}\text{ T}$

Y el hilo de la derecha a:

$r_2=b=20\text{ cm}=\mathrm{0,20}\text{ m}$

$B_2={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 2\cdot {10}^{-3}}{2\pi \cdot \mathrm{0,20}}}=\mathrm{2,00}\cdot {10}^{-9}\text{ T}$

Por el principio de superposición:

${\vec{B}}_P={\vec{B}}_1+{\vec{B}}_2=-(\mathrm{5,71}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{2,00}\cdot {10}^{-9})\vec{k}$

${\vec{B}}_P=-\mathrm{2,57}\cdot {10}^{-9}\vec{k}\text{ T}$

El campo magnético en $P$ vale $\mathrm{2,57}\cdot {10}^{-9}\text{ T}$ y es perpendicular al plano de los hilos, entrando en él.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Hay}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{X}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esas}}\mathbf{\text{corrientes?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sí, y está entre los dos hilos. Fuera de ellos, a la izquierda del primero o a la derecha del segundo, los dos campos tienen el mismo sentido y su suma nunca puede ser nula. Entre los dos hilos, en cambio, los campos tienen sentidos contrarios, y se cancelan donde sus módulos coincidan:

${\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (a-x)}}\Rightarrow x=a-x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{a}{2}}=25\text{ cm}$

Como las corrientes son iguales, ese punto es el punto medio del segmento que une los hilos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{hilos}}\mathbf{\text{cambiara}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sentido,}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor,}}\mathbf{\text{¿se}}\mathbf{\text{anular}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{X}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

No. Al invertir una de las corrientes se invierten los papeles: entre los hilos los dos campos pasan a tener el mismo sentido y se suman, mientras que fuera de ellos tienen sentidos contrarios y podrían cancelarse.

Pero fuera de los hilos la cancelación exigiría que las distancias a los dos conductores fuesen iguales, cosa que solo ocurre en el punto medio, y ese punto no está fuera sino entre ellos:

${\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r_1}}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r_2}}\Rightarrow r_1=r_2$

Como en todo punto exterior una de las distancias supera a la otra exactamente en $a$, la igualdad es imposible y el campo no se anula en ningún punto del eje $X$.